Giải tích sơ cấp Ví dụ

$2 e^{2 x} - 7 e^{x} + 3 = 0$

Bước 1

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $e^{2 x}$ ở dạng ${(e^{x})}^{2}$ .

$2 {(e^{x})}^{2} - 7 e^{x} + 3 = 0$

Bước 1.2

Giả sử $u = e^{x}$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $e^{x}$ .

$2 u^{2} - 7 u + 3 = 0$

Bước 1.3

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$ và có tổng là $b = - 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Đưa $- 7$ ra ngoài $- 7 u$ .

$2 u^{2} - 7 u + 3 = 0$

Bước 1.3.1.2

Viết lại $- 7$ ở dạng $- 1$ cộng $- 6$

$2 u^{2} + (- 1 - 6) u + 3 = 0$

Bước 1.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 u^{2} - 1 u - 6 u + 3 = 0$

Bước 1.3.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$(2 u^{2} - 1 u) - 6 u + 3 = 0$

Bước 1.3.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$u (2 u - 1) - 3 (2 u - 1) = 0$

Bước 1.3.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u - 3) = 0$

Bước 1.4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $e^{x}$ .

$(2 e^{x} - 1) (e^{x} - 3) = 0$

Bước 2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$2 e^{x} - 1 = 0$

$e^{x} - 3 = 0$

Bước 3

Đặt $2 e^{x} - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt $2 e^{x} - 1$ bằng với $0$ .

$2 e^{x} - 1 = 0$

Bước 3.2

Giải $2 e^{x} - 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 e^{x} = 1$

Bước 3.2.2

Chia mỗi số hạng trong $2 e^{x} = 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 e^{x} = 1$ cho $2$ .

$\frac{2 e^{x}}{2} = \frac{1}{2}$

Bước 3.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 e^{x}}{2} = \frac{1}{2}$

Bước 3.2.2.2.1.2

Chia $e^{x}$ cho $1$ .

$e^{x} = \frac{1}{2}$

Bước 3.2.3

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1}{2})$

Bước 3.2.4

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Khai triển $\ln (e^{x})$ bằng cách di chuyển $x$ ra bên ngoài lôgarit.

$x \ln (e) = \ln (\frac{1}{2})$

Bước 3.2.4.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{1}{2})$

Bước 3.2.4.3

Nhân $x$ với $1$ .

$x = \ln (\frac{1}{2})$

Bước 4

Đặt $e^{x} - 3$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đặt $e^{x} - 3$ bằng với $0$ .

$e^{x} - 3 = 0$

Bước 4.2

Giải $e^{x} - 3 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$e^{x} = 3$

Bước 4.2.2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{x}) = \ln (3)$

Bước 4.2.3

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Khai triển $\ln (e^{x})$ bằng cách di chuyển $x$ ra bên ngoài lôgarit.

$x \ln (e) = \ln (3)$

Bước 4.2.3.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (3)$

Bước 4.2.3.3

Nhân $x$ với $1$ .

$x = \ln (3)$

Bước 5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(2 e^{x} - 1) (e^{x} - 3) = 0$ đúng.

$x = \ln (\frac{1}{2}), \ln (3)$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$x = \ln (\frac{1}{2}), \ln (3)$

Dạng thập phân:

$x = - 0.69314718 \dots, 1.09861228 \dots$