Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\log_{2} (8 x) - \log_{2} (x^{2} - 1) = \log_{2} (3)$

Bước 1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{8 x}{x^{2} - 1}) = \log_{2} (3)$

Bước 1.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\log_{2} (\frac{8 x}{x^{2} - 1^{2}}) = \log_{2} (3)$

Bước 1.2.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

$\log_{2} (\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)}) = \log_{2} (3)$

Bước 2

Để cân bằng phương trình, đối số của logarit trên cả hai vế của phương trình phải cân bằng.

$\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)} = 3$

Bước 3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$(x + 1) (x - 1), 1$

Bước 3.1.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$(x + 1) (x - 1)$

Bước 3.2

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)} = 3$ với $(x + 1) (x - 1)$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)} = 3$ với $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)} ((x + 1) (x - 1)) = 3 ((x + 1) (x - 1))$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $(x + 1) (x - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)} ((x + 1) (x - 1)) = 3 ((x + 1) (x - 1))$

Bước 3.2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$8 x = 3 ((x + 1) (x - 1))$

Bước 3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Khai triển $(x + 1) (x - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$8 x = 3 (x (x - 1) + 1 (x - 1))$

Bước 3.2.3.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$8 x = 3 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1))$

Bước 3.2.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$8 x = 3 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Bước 3.2.3.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.2.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$8 x = 3 (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Bước 3.2.3.2.1.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x$ .

$8 x = 3 (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Bước 3.2.3.2.1.3

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$8 x = 3 (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Bước 3.2.3.2.1.4

Nhân $x$ với $1$ .

$8 x = 3 (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1)$

Bước 3.2.3.2.1.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$8 x = 3 (x^{2} - x + x - 1)$

Bước 3.2.3.2.2

Cộng $- x$ và $x$ .

$8 x = 3 (x^{2} + 0 - 1)$

Bước 3.2.3.2.3

Cộng $x^{2}$ và $0$ .

$8 x = 3 (x^{2} - 1)$

Bước 3.2.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$8 x = 3 x^{2} + 3 \cdot - 1$

Bước 3.2.3.4

Nhân $3$ với $- 1$ .

$8 x = 3 x^{2} - 3$

Bước 3.3

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Trừ $3 x^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$8 x - 3 x^{2} = - 3$

Bước 3.3.2

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$8 x - 3 x^{2} + 3 = 0$

Bước 3.3.3

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $8 x - 3 x^{2} + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1.1

Sắp xếp lại $8 x$ và $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 8 x + 3 = 0$

Bước 3.3.3.1.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 3 x^{2}$ .

$- (3 x^{2}) + 8 x + 3 = 0$

Bước 3.3.3.1.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $8 x$ .

$- (3 x^{2}) - (- 8 x) + 3 = 0$

Bước 3.3.3.1.4

Viết lại $3$ ở dạng $- 1 (- 3)$ .

$- (3 x^{2}) - (- 8 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Bước 3.3.3.1.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (3 x^{2}) - (- 8 x)$ .

$- (3 x^{2} - 8 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Bước 3.3.3.1.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (3 x^{2} - 8 x) - 1 (- 3)$ .

$- (3 x^{2} - 8 x - 3) = 0$

Bước 3.3.3.2

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.2.1

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.2.1.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 3 \cdot - 3 = - 9$ và có tổng là $b = - 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.2.1.1.1

Đưa $- 8$ ra ngoài $- 8 x$ .

$- (3 x^{2} - 8 x - 3) = 0$

Bước 3.3.3.2.1.1.2

Viết lại $- 8$ ở dạng $1$ cộng $- 9$

$- (3 x^{2} + (1 - 9) x - 3) = 0$

Bước 3.3.3.2.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- (3 x^{2} + 1 x - 9 x - 3) = 0$

Bước 3.3.3.2.1.1.4

Nhân $x$ với $1$ .

$- (3 x^{2} + x - 9 x - 3) = 0$

Bước 3.3.3.2.1.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.2.1.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$- ((3 x^{2} + x) - 9 x - 3) = 0$

Bước 3.3.3.2.1.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$- (x (3 x + 1) - 3 (3 x + 1)) = 0$

Bước 3.3.3.2.1.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $3 x + 1$ .

$- ((3 x + 1) (x - 3)) = 0$

Bước 3.3.3.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$- (3 x + 1) (x - 3) = 0$

Bước 3.3.4

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Bước 3.3.5

Đặt $3 x + 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.1

Đặt $3 x + 1$ bằng với $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Bước 3.3.5.2

Giải $3 x + 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$3 x = - 1$

Bước 3.3.5.2.2

Chia mỗi số hạng trong $3 x = - 1$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $3 x = - 1$ cho $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Bước 3.3.5.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Bước 3.3.5.2.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Bước 3.3.5.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.2.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{1}{3}$

Bước 3.3.6

Đặt $x - 3$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.6.1

Đặt $x - 3$ bằng với $0$ .

$x - 3 = 0$

Bước 3.3.6.2

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 3$

Bước 3.3.7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $- (3 x + 1) (x - 3) = 0$ đúng.

$x = - \frac{1}{3}, 3$

Bước 4

Loại bỏ đáp án không làm cho $\log_{2} (8 x) - \log_{2} (x^{2} - 1) = \log_{2} (3)$ đúng.

$x = 3$