Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\log_{x} (\frac{1}{27}) = 3$

Bước 1

Viết lại $\log_{x} (\frac{1}{27}) = 3$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$x^{3} = \frac{1}{27}$

Bước 2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Trừ $\frac{1}{27}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{3} - \frac{1}{27} = 0$

Bước 2.2

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Viết lại $\frac{1}{27}$ ở dạng ${(\frac{1}{3})}^{3}$ .

$x^{3} - {(\frac{1}{3})}^{3} = 0$

Bước 2.2.2

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai lập phương, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ trong đó $a = x$ và $b = \frac{1}{3}$ .

$(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + x (\frac{1}{3}) + {(\frac{1}{3})}^{2}) = 0$

Bước 2.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{3}$ .

$(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + \frac{x}{3} + {(\frac{1}{3})}^{2}) = 0$

Bước 2.2.3.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{3}$ .

$(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1^{2}}{3^{2}}) = 0$

Bước 2.2.3.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{3^{2}}) = 0$

Bước 2.2.3.4

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9}) = 0$

Bước 2.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x - \frac{1}{3} = 0$

$x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9} = 0$

Bước 2.4

Đặt $x - \frac{1}{3}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Đặt $x - \frac{1}{3}$ bằng với $0$ .

$x - \frac{1}{3} = 0$

Bước 2.4.2

Cộng $\frac{1}{3}$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = \frac{1}{3}$

Bước 2.5

Đặt $x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Đặt $x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9}$ bằng với $0$ .

$x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9} = 0$

Bước 2.5.2

Giải $x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Nhân với mẫu số chung nhỏ nhất $9$ , sau đó rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$9 x^{2} + 9 (\frac{x}{3}) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Bước 2.5.2.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1.2.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$9 x^{2} + 3 (3) (\frac{x}{3}) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Bước 2.5.2.1.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$9 x^{2} + 3 \cdot (3 (\frac{x}{3})) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Bước 2.5.2.1.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$9 x^{2} + 3 x + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Bước 2.5.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$9 x^{2} + 3 x + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Bước 2.5.2.1.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$9 x^{2} + 3 x + 1 = 0$

Bước 2.5.2.2

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 2.5.2.3

Thay các giá trị $a = 9$ , $b = 3$ , và $c = 1$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (9 \cdot 1)}}{2 \cdot 9}$

Bước 2.5.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.4.1.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

Bước 2.5.2.4.1.2

Nhân $- 4 \cdot 9 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.4.1.2.1

Nhân $- 4$ với $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

Bước 2.5.2.4.1.2.2

Nhân $- 36$ với $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 9}$

Bước 2.5.2.4.1.3

Trừ $36$ khỏi $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 9}$

Bước 2.5.2.4.1.4

Viết lại $- 27$ ở dạng $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 9}$

Bước 2.5.2.4.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (27)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

Bước 2.5.2.4.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

Bước 2.5.2.4.1.7

Viết lại $27$ ở dạng $3^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.4.1.7.1

Đưa $9$ ra ngoài $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 9}$

Bước 2.5.2.4.1.7.2

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

Bước 2.5.2.4.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 9}$

Bước 2.5.2.4.1.9

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

Bước 2.5.2.4.2

Nhân $2$ với $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$

Bước 2.5.2.4.3

Rút gọn $\frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{6}$

Bước 2.5.2.5

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{6}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{6}$

Bước 2.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9}) = 0$ đúng.

$x = \frac{1}{3}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{6}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{6}$