Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\log_{x} (729) = 3$

Bước 1

Viết lại $\log_{x} (729) = 3$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$x^{3} = 729$

Bước 2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Trừ $729$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{3} - 729 = 0$

Bước 2.2

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Viết lại $729$ ở dạng $9^{3}$ .

$x^{3} - 9^{3} = 0$

Bước 2.2.2

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai lập phương, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ trong đó $a = x$ và $b = 9$ .

$(x - 9) (x^{2} + x \cdot 9 + 9^{2}) = 0$

Bước 2.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Di chuyển $9$ sang phía bên trái của $x$ .

$(x - 9) (x^{2} + 9 x + 9^{2}) = 0$

Bước 2.2.3.2

Nâng $9$ lên lũy thừa $2$ .

$(x - 9) (x^{2} + 9 x + 81) = 0$

Bước 2.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x - 9 = 0$

$x^{2} + 9 x + 81 = 0$

Bước 2.4

Đặt $x - 9$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Đặt $x - 9$ bằng với $0$ .

$x - 9 = 0$

Bước 2.4.2

Cộng $9$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 9$

Bước 2.5

Đặt $x^{2} + 9 x + 81$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Đặt $x^{2} + 9 x + 81$ bằng với $0$ .

$x^{2} + 9 x + 81 = 0$

Bước 2.5.2

Giải $x^{2} + 9 x + 81 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 2.5.2.2

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = 9$ , và $c = 81$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 81)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.3.1.1

Nâng $9$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot 81}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.2.3.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 81$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.3.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 81}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.2.3.1.2.2

Nhân $- 4$ với $81$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 324}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.2.3.1.3

Trừ $324$ khỏi $81$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 243}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.2.3.1.4

Viết lại $- 243$ ở dạng $- 1 (243)$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1 \cdot 243}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.2.3.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (243)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{243}$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{243}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.2.3.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{- 9 \pm i \cdot \sqrt{243}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.2.3.1.7

Viết lại $243$ ở dạng $9^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.3.1.7.1

Đưa $81$ ra ngoài $243$ .

$x = \frac{- 9 \pm i \cdot \sqrt{81 (3)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.2.3.1.7.2

Viết lại $81$ ở dạng $9^{2}$ .

$x = \frac{- 9 \pm i \cdot \sqrt{9^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.2.3.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 9 \pm i \cdot (9 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.2.3.1.9

Di chuyển $9$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{- 9 \pm 9 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.2.3.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 9 \pm 9 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.5.2.4

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = - \frac{9 - 9 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{9 + 9 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(x - 9) (x^{2} + 9 x + 81) = 0$ đúng.

$x = 9, - \frac{9 - 9 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{9 + 9 i \sqrt{3}}{2}$