Giải tích sơ cấp Ví dụ

$e^{4 x} + 4 e^{2 x} - 32 = 0$

Bước 1

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $e^{4 x}$ ở dạng ${(e^{2 x})}^{2}$ .

${(e^{2 x})}^{2} + 4 e^{2 x} - 32 = 0$

Bước 1.2

Giả sử $u = e^{2 x}$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $e^{2 x}$ .

$u^{2} + 4 u - 32 = 0$

Bước 1.3

Phân tích $u^{2} + 4 u - 32$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 32$ và tổng của chúng là $4$ .

$- 4, 8$

Bước 1.3.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$(u - 4) (u + 8) = 0$

Bước 1.4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $e^{2 x}$ .

$(e^{2 x} - 4) (e^{2 x} + 8) = 0$

Bước 2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$e^{2 x} - 4 = 0$

$e^{2 x} + 8 = 0$

Bước 3

Đặt $e^{2 x} - 4$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt $e^{2 x} - 4$ bằng với $0$ .

$e^{2 x} - 4 = 0$

Bước 3.2

Giải $e^{2 x} - 4 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$e^{2 x} = 4$

Bước 3.2.2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{2 x}) = \ln (4)$

Bước 3.2.3

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Khai triển $\ln (e^{2 x})$ bằng cách di chuyển $2 x$ ra bên ngoài lôgarit.

$2 x \ln (e) = \ln (4)$

Bước 3.2.3.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$2 x \cdot 1 = \ln (4)$

Bước 3.2.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 x = \ln (4)$

Bước 3.2.4

Chia mỗi số hạng trong $2 x = \ln (4)$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = \ln (4)$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\ln (4)}{2}$

Bước 3.2.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\ln (4)}{2}$

Bước 3.2.4.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{\ln (4)}{2}$

Bước 3.2.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.3.1

Viết lại $\ln (4)$ ở dạng $\ln (2^{2})$ .

$x = \frac{\ln (2^{2})}{2}$

Bước 3.2.4.3.2

Khai triển $\ln (2^{2})$ bằng cách di chuyển $2$ ra bên ngoài lôgarit.

$x = \frac{2 \ln (2)}{2}$

Bước 3.2.4.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = \frac{2 \ln (2)}{2}$

Bước 3.2.4.3.3.2

Chia $\ln (2)$ cho $1$ .

$x = \ln (2)$

Bước 4

Đặt $e^{2 x} + 8$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đặt $e^{2 x} + 8$ bằng với $0$ .

$e^{2 x} + 8 = 0$

Bước 4.2

Giải $e^{2 x} + 8 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Trừ $8$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$e^{2 x} = - 8$

Bước 4.2.2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{2 x}) = \ln (- 8)$

Bước 4.2.3

Không thể giải phương trình vì $\ln (- 8)$ không xác định.

Không xác định

Bước 4.2.4

Không có đáp án nào cho $e^{2 x} = - 8$

Không có đáp án

Bước 5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(e^{2 x} - 4) (e^{2 x} + 8) = 0$ đúng.

$x = \ln (2)$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$x = \ln (2)$

Dạng thập phân:

$x = 0.69314718 \dots$