Giải tích sơ cấp Ví dụ

$e^{2 x} - 9 e^{x} + 14 = 0$

Bước 1

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $e^{2 x}$ ở dạng ${(e^{x})}^{2}$ .

${(e^{x})}^{2} - 9 e^{x} + 14 = 0$

Bước 1.2

Giả sử $u = e^{x}$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $e^{x}$ .

$u^{2} - 9 u + 14 = 0$

Bước 1.3

Phân tích $u^{2} - 9 u + 14$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $14$ và tổng của chúng là $- 9$ .

$- 7, - 2$

Bước 1.3.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$(u - 7) (u - 2) = 0$

Bước 1.4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $e^{x}$ .

$(e^{x} - 7) (e^{x} - 2) = 0$

Bước 2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$e^{x} - 7 = 0$

$e^{x} - 2 = 0$

Bước 3

Đặt $e^{x} - 7$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt $e^{x} - 7$ bằng với $0$ .

$e^{x} - 7 = 0$

Bước 3.2

Giải $e^{x} - 7 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Cộng $7$ cho cả hai vế của phương trình.

$e^{x} = 7$

Bước 3.2.2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{x}) = \ln (7)$

Bước 3.2.3

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Khai triển $\ln (e^{x})$ bằng cách di chuyển $x$ ra bên ngoài lôgarit.

$x \ln (e) = \ln (7)$

Bước 3.2.3.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (7)$

Bước 3.2.3.3

Nhân $x$ với $1$ .

$x = \ln (7)$

Bước 4

Đặt $e^{x} - 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đặt $e^{x} - 2$ bằng với $0$ .

$e^{x} - 2 = 0$

Bước 4.2

Giải $e^{x} - 2 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$e^{x} = 2$

Bước 4.2.2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

Bước 4.2.3

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Khai triển $\ln (e^{x})$ bằng cách di chuyển $x$ ra bên ngoài lôgarit.

$x \ln (e) = \ln (2)$

Bước 4.2.3.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2)$

Bước 4.2.3.3

Nhân $x$ với $1$ .

$x = \ln (2)$

Bước 5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(e^{x} - 7) (e^{x} - 2) = 0$ đúng.

$x = \ln (7), \ln (2)$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$x = \ln (7), \ln (2)$

Dạng thập phân:

$x = 1.94591014 \dots, 0.69314718 \dots$