Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\frac{4}{2 - 3 i} + \frac{2}{1 + i}$

Bước 1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân tử số và mẫu số của $\frac{4}{2 - 3 i}$ với liên hợp của $2 - 3 i$ để biến mẫu số thành số thực.

$\frac{4}{2 - 3 i} \cdot \frac{2 + 3 i}{2 + 3 i} + \frac{2}{1 + i}$

Bước 1.2

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Kết hợp.

$\frac{4 (2 + 3 i)}{(2 - 3 i) (2 + 3 i)} + \frac{2}{1 + i}$

Bước 1.2.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 \cdot 2 + 4 (3 i)}{(2 - 3 i) (2 + 3 i)} + \frac{2}{1 + i}$

Bước 1.2.2.2

Nhân $4$ với $2$ .

$\frac{8 + 4 (3 i)}{(2 - 3 i) (2 + 3 i)} + \frac{2}{1 + i}$

Bước 1.2.2.3

Nhân $3$ với $4$ .

$\frac{8 + 12 i}{(2 - 3 i) (2 + 3 i)} + \frac{2}{1 + i}$

Bước 1.2.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Khai triển $(2 - 3 i) (2 + 3 i)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{8 + 12 i}{2 (2 + 3 i) - 3 i (2 + 3 i)} + \frac{2}{1 + i}$

Bước 1.2.3.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{8 + 12 i}{2 \cdot 2 + 2 (3 i) - 3 i (2 + 3 i)} + \frac{2}{1 + i}$

Bước 1.2.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{8 + 12 i}{2 \cdot 2 + 2 (3 i) - 3 i \cdot 2 - 3 i (3 i)} + \frac{2}{1 + i}$

Bước 1.2.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{8 + 12 i}{4 + 2 (3 i) - 3 i \cdot 2 - 3 i (3 i)} + \frac{2}{1 + i}$

Bước 1.2.3.2.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{8 + 12 i}{4 + 6 i - 3 i \cdot 2 - 3 i (3 i)} + \frac{2}{1 + i}$

Bước 1.2.3.2.3

Nhân $2$ với $- 3$ .

$\frac{8 + 12 i}{4 + 6 i - 6 i - 3 i (3 i)} + \frac{2}{1 + i}$

Bước 1.2.3.2.4

Nhân $3$ với $- 3$ .

$\frac{8 + 12 i}{4 + 6 i - 6 i - 9 i i} + \frac{2}{1 + i}$

Bước 1.2.3.2.5

Nâng $i$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{8 + 12 i}{4 + 6 i - 6 i - 9 (i^{1} i)} + \frac{2}{1 + i}$

Bước 1.2.3.2.6

Nâng $i$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{8 + 12 i}{4 + 6 i - 6 i - 9 (i^{1} i^{1})} + \frac{2}{1 + i}$

Bước 1.2.3.2.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{8 + 12 i}{4 + 6 i - 6 i - 9 i^{1 + 1}} + \frac{2}{1 + i}$

Bước 1.2.3.2.8

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{8 + 12 i}{4 + 6 i - 6 i - 9 i^{2}} + \frac{2}{1 + i}$

Bước 1.2.3.2.9

Trừ $6 i$ khỏi $6 i$ .

$\frac{8 + 12 i}{4 + 0 - 9 i^{2}} + \frac{2}{1 + i}$

Bước 1.2.3.2.10

Cộng $4$ và $0$ .

$\frac{8 + 12 i}{4 - 9 i^{2}} + \frac{2}{1 + i}$

Bước 1.2.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.3.1

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$\frac{8 + 12 i}{4 - 9 \cdot - 1} + \frac{2}{1 + i}$

Bước 1.2.3.3.2

Nhân $- 9$ với $- 1$ .

$\frac{8 + 12 i}{4 + 9} + \frac{2}{1 + i}$

Bước 1.2.3.4

Cộng $4$ và $9$ .

$\frac{8 + 12 i}{13} + \frac{2}{1 + i}$

Bước 1.3

Tách phân số $\frac{8 + 12 i}{13}$ thành hai phân số.

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2}{1 + i}$

Bước 1.4

Nhân tử số và mẫu số của $\frac{2}{1 + 1 i}$ với liên hợp của $1 + 1 i$ để biến mẫu số thành số thực.

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2}{1 + 1 i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i}$

Bước 1.5

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Kết hợp.

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Bước 1.5.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 \cdot 1 + 2 (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Bước 1.5.2.2

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 + 2 (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Bước 1.5.2.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Bước 1.5.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.1

Khai triển $(1 + 1 i) (1 - i)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 (1 - i) + 1 i (1 - i)}$

Bước 1.5.3.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i (1 - i)}$

Bước 1.5.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Bước 1.5.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.1

Nhân $1$ với $1$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Bước 1.5.3.2.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 - 1 i + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Bước 1.5.3.2.3

Nhân $1$ với $1$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 - 1 i + 1 i + 1 i (- i)}$

Bước 1.5.3.2.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 - 1 i + 1 i - i i}$

Bước 1.5.3.2.5

Nâng $i$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i)}$

Bước 1.5.3.2.6

Nâng $i$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i^{1})}$

Bước 1.5.3.2.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 - 1 i + 1 i - i^{1 + 1}}$

Bước 1.5.3.2.8

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 - 1 i + 1 i - i^{2}}$

Bước 1.5.3.2.9

Cộng $- 1 i$ và $1 i$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 + 0 - i^{2}}$

Bước 1.5.3.2.10

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 - i^{2}}$

Bước 1.5.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.3.1

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 - - 1}$

Bước 1.5.3.3.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 + 1}$

Bước 1.5.3.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{2}$

Bước 1.6

Triệt tiêu thừa số chung của $2 - 2 i$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 \cdot 1 - 2 i}{2}$

Bước 1.6.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 i$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 \cdot 1 + 2 (- i)}{2}$

Bước 1.6.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (1) + 2 (- i)$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 (1 - i)}{2}$

Bước 1.6.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 (1 - i)}{2 (1)}$

Bước 1.6.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 (1 - i)}{2 \cdot 1}$

Bước 1.6.4.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{1 - i}{1}$

Bước 1.6.4.4

Chia $1 - i$ cho $1$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + 1 - i$

Bước 2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{8}{13} + \frac{13}{13} + \frac{12 i}{13} - i$

Bước 2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{8 + 13}{13} + \frac{12 i}{13} - i$

Bước 2.3

Cộng $8$ và $13$ .

$\frac{21}{13} + \frac{12 i}{13} - i$

Bước 3

Để viết $- i$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{13}{13}$ .

$\frac{21}{13} + \frac{12 i}{13} - i \cdot \frac{13}{13}$

Bước 4

Kết hợp $- i$ và $\frac{13}{13}$ .

$\frac{21}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{- i \cdot 13}{13}$

Bước 5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{21}{13} + \frac{- i}{13}$

Bước 5.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{21}{13} - \frac{i}{13}$