Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\arccos (\frac{2 x}{1 - x^{2}})$

Bước 1

Đặt đối số trong $\arccos (\frac{2 x}{1 - x^{2}})$ lớn hơn hoặc bằng $- 1$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$\frac{2 x}{1 - x^{2}} \geq - 1$

Bước 2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân cả hai vế với $1 - x^{2}$ .

$\frac{2 x}{1 - x^{2}} (1 - x^{2}) = - (1 - x^{2})$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $1 - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{1 - x^{2}} (1 - x^{2}) = - (1 - x^{2})$

Bước 2.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$2 x = - (1 - x^{2})$

Bước 2.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Rút gọn $- (1 - x^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 x = - 1 \cdot 1 - - x^{2}$

Bước 2.2.2.1.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$2 x = - 1 - - x^{2}$

Bước 2.2.2.1.3

Nhân $- - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$2 x = - 1 + 1 x^{2}$

Bước 2.2.2.1.3.2

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$2 x = - 1 + x^{2}$

Bước 2.2.2.1.4

Sắp xếp lại $- 1$ và $x^{2}$ .

$2 x = x^{2} - 1$

Bước 2.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Trừ $x^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 x - x^{2} = - 1$

Bước 2.3.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 x - x^{2} + 1 = 0$

Bước 2.3.3

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 2.3.4

Thay các giá trị $a = - 1$ , $b = 2$ , và $c = 1$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 1)}}{2 \cdot - 1}$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Bước 2.3.5.1.2

Nhân $- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1.2.1

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Bước 2.3.5.1.2.2

Nhân $4$ với $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot - 1}$

Bước 2.3.5.1.3

Cộng $4$ và $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot - 1}$

Bước 2.3.5.1.4

Viết lại $8$ ở dạng $2^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot - 1}$

Bước 2.3.5.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot - 1}$

Bước 2.3.5.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot - 1}$

Bước 2.3.5.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{- 2}$

Bước 2.3.5.3

Rút gọn $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{- 2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Bước 2.3.6

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Bước 2.3.6.1.2

Nhân $- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1.2.1

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Bước 2.3.6.1.2.2

Nhân $4$ với $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot - 1}$

Bước 2.3.6.1.3

Cộng $4$ và $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot - 1}$

Bước 2.3.6.1.4

Viết lại $8$ ở dạng $2^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot - 1}$

Bước 2.3.6.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot - 1}$

Bước 2.3.6.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot - 1}$

Bước 2.3.6.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{- 2}$

Bước 2.3.6.3

Rút gọn $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{- 2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Bước 2.3.6.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$x = 1 + \sqrt{2}$

Bước 2.3.7

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Bước 2.3.7.1.2

Nhân $- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1.2.1

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Bước 2.3.7.1.2.2

Nhân $4$ với $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot - 1}$

Bước 2.3.7.1.3

Cộng $4$ và $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot - 1}$

Bước 2.3.7.1.4

Viết lại $8$ ở dạng $2^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot - 1}$

Bước 2.3.7.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot - 1}$

Bước 2.3.7.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot - 1}$

Bước 2.3.7.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{- 2}$

Bước 2.3.7.3

Rút gọn $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{- 2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Bước 2.3.7.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$x = 1 - \sqrt{2}$

Bước 2.3.8

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

Bước 2.4

Tìm tập xác định của $\frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Đặt mẫu số trong $\frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$(1 + x) (1 - x) = 0$

Bước 2.4.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

Bước 2.4.2.2

Đặt $1 + x$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.1

Đặt $1 + x$ bằng với $0$ .

$1 + x = 0$

Bước 2.4.2.2.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 1$

Bước 2.4.2.3

Đặt $1 - x$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.3.1

Đặt $1 - x$ bằng với $0$ .

$1 - x = 0$

Bước 2.4.2.3.2

Giải $1 - x = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.3.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- x = - 1$

Bước 2.4.2.3.2.2

Chia mỗi số hạng trong $- x = - 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.3.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- x = - 1$ cho $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 2.4.2.3.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.3.2.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 2.4.2.3.2.2.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 2.4.2.3.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.3.2.2.3.1

Chia $- 1$ cho $- 1$ .

$x = 1$

Bước 2.4.2.4

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(1 + x) (1 - x) = 0$ đúng.

$x = - 1, 1$

Bước 2.4.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Bước 2.5

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1 - \sqrt{2}$

$1 - \sqrt{2} < x < 1$

$1 < x < 1 + \sqrt{2}$

$x > 1 + \sqrt{2}$

Bước 2.6

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < - 1$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < - 1$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 4$

Bước 2.6.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{2 (- 4)}{1 - {(- 4)}^{2}} \geq - 1$

Bước 2.6.1.3

Vế trái $0.5\overline{3}$ lớn hơn vế phải $- 1$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 2.6.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 1 < x < 1 - \sqrt{2}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 1 < x < 1 - \sqrt{2}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 0.71$

Bước 2.6.2.2

Thay thế $x$ bằng $- 0.71$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{2 (- 0.71)}{1 - {(- 0.71)}^{2}} \geq - 1$

Bước 2.6.2.3

Vế trái $- 2.86348054$ nhỏ hơn vế phải $- 1$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 2.6.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $1 - \sqrt{2} < x < 1$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $1 - \sqrt{2} < x < 1$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0$

Bước 2.6.3.2

Thay thế $x$ bằng $0$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{2 (0)}{1 - {(0)}^{2}} \geq - 1$

Bước 2.6.3.3

Vế trái $0$ lớn hơn vế phải $- 1$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 2.6.4

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $1 < x < 1 + \sqrt{2}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.4.1

Chọn một giá trị trên khoảng $1 < x < 1 + \sqrt{2}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 2$

Bước 2.6.4.2

Thay thế $x$ bằng $2$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{2 (2)}{1 - {(2)}^{2}} \geq - 1$

Bước 2.6.4.3

Vế trái $- 1.\overline{3}$ nhỏ hơn vế phải $- 1$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 2.6.5

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 1 + \sqrt{2}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.5.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 1 + \sqrt{2}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 5$

Bước 2.6.5.2

Thay thế $x$ bằng $5$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{2 (5)}{1 - {(5)}^{2}} \geq - 1$

Bước 2.6.5.3

Vế trái $- 0.41\overline{6}$ lớn hơn vế phải $- 1$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 2.6.6

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < - 1$ Đúng

$- 1 < x < 1 - \sqrt{2}$ Sai

$1 - \sqrt{2} < x < 1$ Đúng

$1 < x < 1 + \sqrt{2}$ Sai

$x > 1 + \sqrt{2}$ Đúng

$x < - 1$ Đúng

$- 1 < x < 1 - \sqrt{2}$ Sai

$1 - \sqrt{2} < x < 1$ Đúng

$1 < x < 1 + \sqrt{2}$ Sai

$x > 1 + \sqrt{2}$ Đúng

Bước 2.7

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$x < - 1$ hoặc $1 - \sqrt{2} \leq x < 1$ hoặc $x \geq 1 + \sqrt{2}$

Bước 3

Đặt đối số trong $\arccos (\frac{2 x}{1 - x^{2}})$ nhỏ hơn hoặc bằng $1$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$\frac{2 x}{1 - x^{2}} \leq 1$

Bước 4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân cả hai vế với $1 - x^{2}$ .

$\frac{2 x}{1 - x^{2}} (1 - x^{2}) = 1 (1 - x^{2})$

Bước 4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $1 - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{1 - x^{2}} (1 - x^{2}) = 1 (1 - x^{2})$

Bước 4.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$2 x = 1 (1 - x^{2})$

Bước 4.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Rút gọn $1 (1 - x^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.1

Nhân $1 - x^{2}$ với $1$ .

$2 x = 1 - x^{2}$

Bước 4.2.2.1.2

Sắp xếp lại $1$ và $- x^{2}$ .

$2 x = - x^{2} + 1$

Bước 4.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Cộng $x^{2}$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 x + x^{2} = 1$

Bước 4.3.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 x + x^{2} - 1 = 0$

Bước 4.3.3

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 4.3.4

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = 2$ , và $c = - 1$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.3.5.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.3.5.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.3.5.1.3

Cộng $4$ và $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.3.5.1.4

Viết lại $8$ ở dạng $2^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.3.5.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.3.5.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.3.5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Bước 4.3.5.3

Rút gọn $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

Bước 4.3.6

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.6.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.3.6.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.6.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.3.6.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.3.6.1.3

Cộng $4$ và $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.3.6.1.4

Viết lại $8$ ở dạng $2^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.6.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.3.6.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.3.6.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.3.6.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Bước 4.3.6.3

Rút gọn $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

Bước 4.3.6.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$x = - 1 + \sqrt{2}$

Bước 4.3.7

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.7.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.3.7.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.7.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.3.7.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.3.7.1.3

Cộng $4$ và $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.3.7.1.4

Viết lại $8$ ở dạng $2^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.7.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.3.7.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.3.7.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.3.7.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Bước 4.3.7.3

Rút gọn $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

Bước 4.3.7.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$x = - 1 - \sqrt{2}$

Bước 4.3.8

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

Bước 4.4

Tìm tập xác định của $\frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Đặt mẫu số trong $\frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$(1 + x) (1 - x) = 0$

Bước 4.4.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

Bước 4.4.2.2

Đặt $1 + x$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.2.1

Đặt $1 + x$ bằng với $0$ .

$1 + x = 0$

Bước 4.4.2.2.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 1$

Bước 4.4.2.3

Đặt $1 - x$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.3.1

Đặt $1 - x$ bằng với $0$ .

$1 - x = 0$

Bước 4.4.2.3.2

Giải $1 - x = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.3.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- x = - 1$

Bước 4.4.2.3.2.2

Chia mỗi số hạng trong $- x = - 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.3.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- x = - 1$ cho $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 4.4.2.3.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.3.2.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 4.4.2.3.2.2.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 4.4.2.3.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.3.2.2.3.1

Chia $- 1$ cho $- 1$ .

$x = 1$

Bước 4.4.2.4

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(1 + x) (1 - x) = 0$ đúng.

$x = - 1, 1$

Bước 4.4.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Bước 4.5

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < - 1 - \sqrt{2}$

$- 1 - \sqrt{2} < x < - 1$

$- 1 < x < - 1 + \sqrt{2}$

$- 1 + \sqrt{2} < x < 1$

$x > 1$

Bước 4.6

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < - 1 - \sqrt{2}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < - 1 - \sqrt{2}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 5$

Bước 4.6.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 5$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{2 (- 5)}{1 - {(- 5)}^{2}} \leq 1$

Bước 4.6.1.3

Vế trái $0.41\overline{6}$ nhỏ hơn vế phải $1$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 4.6.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 1 - \sqrt{2} < x < - 1$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 1 - \sqrt{2} < x < - 1$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 2$

Bước 4.6.2.2

Thay thế $x$ bằng $- 2$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{2 (- 2)}{1 - {(- 2)}^{2}} \leq 1$

Bước 4.6.2.3

Vế trái $1.\overline{3}$ lớn hơn vế phải $1$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 4.6.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 1 < x < - 1 + \sqrt{2}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 1 < x < - 1 + \sqrt{2}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0$

Bước 4.6.3.2

Thay thế $x$ bằng $0$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{2 (0)}{1 - {(0)}^{2}} \leq 1$

Bước 4.6.3.3

Vế trái $0$ nhỏ hơn vế phải $1$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 4.6.4

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 1 + \sqrt{2} < x < 1$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.4.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 1 + \sqrt{2} < x < 1$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0.71$

Bước 4.6.4.2

Thay thế $x$ bằng $0.71$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{2 (0.71)}{1 - {(0.71)}^{2}} \leq 1$

Bước 4.6.4.3

Vế trái $2.86348054$ lớn hơn vế phải $1$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 4.6.5

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 1$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.5.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 1$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 4$

Bước 4.6.5.2

Thay thế $x$ bằng $4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{2 (4)}{1 - {(4)}^{2}} \leq 1$

Bước 4.6.5.3

Vế trái $- 0.5\overline{3}$ nhỏ hơn vế phải $1$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 4.6.6

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < - 1 - \sqrt{2}$ Đúng

$- 1 - \sqrt{2} < x < - 1$ Sai

$- 1 < x < - 1 + \sqrt{2}$ Đúng

$- 1 + \sqrt{2} < x < 1$ Sai

$x > 1$ Đúng

$x < - 1 - \sqrt{2}$ Đúng

$- 1 - \sqrt{2} < x < - 1$ Sai

$- 1 < x < - 1 + \sqrt{2}$ Đúng

$- 1 + \sqrt{2} < x < 1$ Sai

$x > 1$ Đúng

Bước 4.7

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$x \leq - 1 - \sqrt{2}$ hoặc $- 1 < x \leq - 1 + \sqrt{2}$ hoặc $x > 1$

Bước 5

Đặt mẫu số trong $\frac{2 x}{1 - x^{2}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$1 - x^{2} = 0$

Bước 6

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- x^{2} = - 1$

Bước 6.2

Chia mỗi số hạng trong $- x^{2} = - 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- x^{2} = - 1$ cho $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 6.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 6.2.2.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 6.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Chia $- 1$ cho $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Bước 6.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Bước 6.4

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$x = \pm 1$

Bước 6.5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = 1$

Bước 6.5.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - 1$

Bước 6.5.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 1, - 1$

Bước 7

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, - 1 - \sqrt{2}] \cup [1 - \sqrt{2}, - 1 + \sqrt{2}] \cup [1 + \sqrt{2}, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \leq - 1 - \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2} \leq x \leq - 1 + \sqrt{2}, x \geq 1 + \sqrt{2}}$

Bước 8