Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\sin (\arctan (x))$

Bước 1

Vẽ một hình tam giác trong mặt phẳng với các đỉnh $(1, x)$ , $(1, 0)$ , và gốc tọa độ. Khi đó $\arctan (x)$ là góc giữa trục x dương và tia bắt đầu tại điểm gốc tọa độ và đi qua $(1, x)$ . Do đó, $\sin (\arctan (x))$ là $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Bước 2

Nhân $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ với $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Bước 3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ với $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Bước 3.2

Nâng $\sqrt{1 + x^{2}}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Bước 3.3

Nâng $\sqrt{1 + x^{2}}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}}$

Bước 3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}}$

Bước 3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}}$

Bước 3.6

Viết lại ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ ở dạng $1 + x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{1 + x^{2}}$ ở dạng ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 3.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 3.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Bước 3.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Bước 3.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}}$

Bước 3.6.5

Rút gọn.

$\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$