Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\frac{lim_{x \to 1} x^{4} - 1}{x^{6} - 1}$

Bước 1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{4} - lim_{x \to 1} 1}{x^{6} - 1}$

Bước 1.2

Đưa số mũ $4$ từ $x^{4}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - lim_{x \to 1} 1}{x^{6} - 1}$

Bước 1.3

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 1 \cdot 1}{x^{6} - 1}$

Bước 2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $1$ cho $x$ .

$\frac{1^{4} - 1 \cdot 1}{x^{6} - 1}$

Bước 3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{x^{6} - 1}$

Bước 3.1.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1 - 1}{x^{6} - 1}$

Bước 3.1.3

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{0}{x^{6} - 1}$

Bước 3.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Viết lại $x^{6}$ ở dạng ${(x^{2})}^{3}$ .

$\frac{0}{{(x^{2})}^{3} - 1}$

Bước 3.2.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{3}$ .

$\frac{0}{{(x^{2})}^{3} - 1^{3}}$

Bước 3.2.3

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai lập phương, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ trong đó $a = x^{2}$ và $b = 1$ .

$\frac{0}{(x^{2} - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1^{2})}$

Bước 3.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{0}{(x^{2} - 1^{2}) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1^{2})}$

Bước 3.2.4.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1^{2})}$

Bước 3.2.4.3

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} + 1^{2})}$

Bước 3.2.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1) (x^{2 \cdot 2} + x^{2} + 1^{2})}$

Bước 3.2.5.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1) (x^{4} + x^{2} + 1^{2})}$

Bước 3.2.5.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1) (x^{4} + x^{2} + 1)}$

Bước 3.3

Chia $0$ cho $(x + 1) (x - 1) (x^{4} + x^{2} + 1)$ .

$0$