Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\sum_{n = 1}^{8} 5 \cdot {(\frac{1}{5})}^{n}$

Bước 1

Tổng của một chuỗi cấp số nhân hữu hạn có thể được xác định bằng cách dùng công thức $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ với $a$ là số hạng đầu tiên và $r$ là tỉ số giữa hai số hạng kề nhau.

Bước 2

Tìm tỉ số giữa các số hạng liền kề bằng cách thế vào công thức $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay $a_{n}$ và $a_{n + 1}$ vào công thức cho $r$ .

$r = \frac{5 \cdot {(\frac{1}{5})}^{n + 1}}{5 \cdot {(\frac{1}{5})}^{n}}$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{5 \cdot {(\frac{1}{5})}^{n + 1}}{5 \cdot {(\frac{1}{5})}^{n}}$

Bước 2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n + 1}}{{(\frac{1}{5})}^{n}}$

Bước 2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của ${(\frac{1}{5})}^{n + 1}$ và ${(\frac{1}{5})}^{n}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Đưa ${(\frac{1}{5})}^{n}$ ra ngoài ${(\frac{1}{5})}^{n + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n} \frac{1}{5}}{{(\frac{1}{5})}^{n}}$

Bước 2.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.2.1

Nhân với $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n} \frac{1}{5}}{{(\frac{1}{5})}^{n} \cdot 1}$

Bước 2.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n} \frac{1}{5}}{{(\frac{1}{5})}^{n} \cdot 1}$

Bước 2.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{\frac{1}{5}}{1}$

Bước 2.2.2.2.4

Chia $\frac{1}{5}$ cho $1$ .

$r = \frac{1}{5}$

Bước 3

Tìm số hạng đầu tiên trong chuỗi bằng cách thay biên dưới vào và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay $1$ cho $n$ vào $5 \cdot {(\frac{1}{5})}^{n}$ .

$a = 5 \cdot {(\frac{1}{5})}^{1}$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn.

$a = 5 \cdot \frac{1}{5}$

Bước 3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$a = 5 \cdot \frac{1}{5}$

Bước 3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$a = 1$

Bước 4

Thế giá trị của công bội, số hạng đầu, và số các số hạng vào công thức tính tổng.

$1 \frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{8}}{1 - \frac{1}{5}}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $\frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{8}}{1 - \frac{1}{5}}$ với $1$ .

$\frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{8}}{1 - \frac{1}{5}}$

Bước 5.2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nhân $\frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{8}}{1 - \frac{1}{5}}$ với $\frac{5}{5}$ .

$\frac{5}{5} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{8}}{1 - \frac{1}{5}}$

Bước 5.2.2

Kết hợp.

$\frac{5 (1 - {(\frac{1}{5})}^{8})}{5 (1 - \frac{1}{5})}$

Bước 5.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{8})}{5 \cdot 1 + 5 (- \frac{1}{5})}$

Bước 5.4

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{5}$ vào tử số.

$\frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{8})}{5 \cdot 1 + 5 (\frac{- 1}{5})}$

Bước 5.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{8})}{5 \cdot 1 + 5 (\frac{- 1}{5})}$

Bước 5.4.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{8})}{5 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Nhân $5$ với $1$ .

$\frac{5 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{8})}{5 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.5.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5 + 5 (- \frac{1^{8}}{5^{8}})}{5 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.5.3

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1^{8}}{5^{8}}$ vào tử số.

$\frac{5 + 5 \frac{- 1^{8}}{5^{8}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.5.3.2

Đưa $5$ ra ngoài $5^{8}$ .

$\frac{5 + 5 \frac{- 1^{8}}{5 \cdot 5^{7}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.5.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 + 5 \frac{- 1^{8}}{5 \cdot 5^{7}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.5.3.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{5 + \frac{- 1^{8}}{5^{7}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.5.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{5 + \frac{- 1 \cdot 1}{5^{7}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.5.5

Nâng $5$ lên lũy thừa $7$ .

$\frac{5 + \frac{- 1 \cdot 1}{78125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.5.6

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{5 + \frac{- 1}{78125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.5.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{5 - \frac{1}{78125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.5.8

Để viết $5$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{78125}{78125}$ .

$\frac{5 \cdot \frac{78125}{78125} - \frac{1}{78125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.5.9

Kết hợp $5$ và $\frac{78125}{78125}$ .

$\frac{\frac{5 \cdot 78125}{78125} - \frac{1}{78125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.5.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{5 \cdot 78125 - 1}{78125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.5.11

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.11.1

Nhân $5$ với $78125$ .

$\frac{\frac{390625 - 1}{78125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.5.11.2

Trừ $1$ khỏi $390625$ .

$\frac{\frac{390624}{78125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.6

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Nhân $5$ với $1$ .

$\frac{\frac{390624}{78125}}{5 - 1}$

Bước 5.6.2

Trừ $1$ khỏi $5$ .

$\frac{\frac{390624}{78125}}{4}$

Bước 5.7

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{390624}{78125} \cdot \frac{1}{4}$

Bước 5.8

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.1

Đưa $4$ ra ngoài $390624$ .

$\frac{4 (97656)}{78125} \cdot \frac{1}{4}$

Bước 5.8.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 \cdot 97656}{78125} \cdot \frac{1}{4}$

Bước 5.8.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{97656}{78125}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{97656}{78125}$

Dạng thập phân:

$1.2499968$

Dạng hỗn số:

$1 \frac{19531}{78125}$