Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\sum_{n = 0}^{8} \frac{1}{6^{n}}$

Bước 1

Tổng của một chuỗi cấp số nhân hữu hạn có thể được xác định bằng cách dùng công thức $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ với $a$ là số hạng đầu tiên và $r$ là tỉ số giữa hai số hạng kề nhau.

Bước 2

Tìm tỉ số giữa các số hạng liền kề bằng cách thế vào công thức $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay $a_{n}$ và $a_{n + 1}$ vào công thức cho $r$ .

$r = \frac{\frac{1}{6^{n + 1}}}{\frac{1}{6^{n}}}$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$r = \frac{1}{6^{n + 1}} \cdot 6^{n}$

Bước 2.2.2

Kết hợp $\frac{1}{6^{n + 1}}$ và $6^{n}$ .

$r = \frac{6^{n}}{6^{n + 1}}$

Bước 2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $6^{n}$ và $6^{n + 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Đưa $6^{n + 1}$ ra ngoài $6^{n}$ .

$r = \frac{6^{n + 1} \cdot 6^{n - (n + 1)}}{6^{n + 1}}$

Bước 2.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.2.1

Nhân với $1$ .

$r = \frac{6^{n + 1} \cdot 6^{n - (n + 1)}}{6^{n + 1} \cdot 1}$

Bước 2.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{6^{n + 1} \cdot 6^{n - (n + 1)}}{6^{n + 1} \cdot 1}$

Bước 2.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{6^{n - (n + 1)}}{1}$

Bước 2.2.3.2.4

Chia $6^{n - (n + 1)}$ cho $1$ .

$r = 6^{n - (n + 1)}$

Bước 2.2.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$r = 6^{n - n - 1 \cdot 1}$

Bước 2.2.4.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$r = 6^{n - n - 1}$

Bước 2.2.5

Trừ $n$ khỏi $n$ .

$r = 6^{0 - 1}$

Bước 2.2.6

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$r = 6^{- 1}$

Bước 2.2.7

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = \frac{1}{6}$

Bước 3

Tìm số hạng đầu tiên trong chuỗi bằng cách thay biên dưới vào và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay $0$ cho $n$ vào $\frac{1}{6^{n}}$ .

$a = \frac{1}{6^{0}}$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$a = \frac{1}{1}$

Bước 3.2.2

Chia $1$ cho $1$ .

$a = 1$

Bước 4

Thế giá trị của công bội, số hạng đầu, và số các số hạng vào công thức tính tổng.

$1 \frac{1 - {(\frac{1}{6})}^{9}}{1 - \frac{1}{6}}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $\frac{1 - {(\frac{1}{6})}^{9}}{1 - \frac{1}{6}}$ với $1$ .

$\frac{1 - {(\frac{1}{6})}^{9}}{1 - \frac{1}{6}}$

Bước 5.2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nhân $\frac{1 - {(\frac{1}{6})}^{9}}{1 - \frac{1}{6}}$ với $\frac{6}{6}$ .

$\frac{6}{6} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{6})}^{9}}{1 - \frac{1}{6}}$

Bước 5.2.2

Kết hợp.

$\frac{6 (1 - {(\frac{1}{6})}^{9})}{6 (1 - \frac{1}{6})}$

Bước 5.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{6 \cdot 1 + 6 (- {(\frac{1}{6})}^{9})}{6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{6})}$

Bước 5.4

Triệt tiêu thừa số chung $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{6}$ vào tử số.

$\frac{6 \cdot 1 + 6 (- {(\frac{1}{6})}^{9})}{6 \cdot 1 + 6 (\frac{- 1}{6})}$

Bước 5.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{6 \cdot 1 + 6 (- {(\frac{1}{6})}^{9})}{6 \cdot 1 + 6 (\frac{- 1}{6})}$

Bước 5.4.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{6 \cdot 1 + 6 (- {(\frac{1}{6})}^{9})}{6 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Nhân $6$ với $1$ .

$\frac{6 + 6 (- {(\frac{1}{6})}^{9})}{6 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.5.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{6}$ .

$\frac{6 + 6 (- \frac{1^{9}}{6^{9}})}{6 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.5.3

Triệt tiêu thừa số chung $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1^{9}}{6^{9}}$ vào tử số.

$\frac{6 + 6 \frac{- 1^{9}}{6^{9}}}{6 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.5.3.2

Đưa $6$ ra ngoài $6^{9}$ .

$\frac{6 + 6 \frac{- 1^{9}}{6 \cdot 6^{8}}}{6 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.5.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{6 + 6 \frac{- 1^{9}}{6 \cdot 6^{8}}}{6 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.5.3.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{6 + \frac{- 1^{9}}{6^{8}}}{6 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.5.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{6 + \frac{- 1 \cdot 1}{6^{8}}}{6 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.5.5

Nâng $6$ lên lũy thừa $8$ .

$\frac{6 + \frac{- 1 \cdot 1}{1679616}}{6 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.5.6

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{6 + \frac{- 1}{1679616}}{6 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.5.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{6 - \frac{1}{1679616}}{6 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.5.8

Để viết $6$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{1679616}{1679616}$ .

$\frac{6 \cdot \frac{1679616}{1679616} - \frac{1}{1679616}}{6 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.5.9

Kết hợp $6$ và $\frac{1679616}{1679616}$ .

$\frac{\frac{6 \cdot 1679616}{1679616} - \frac{1}{1679616}}{6 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.5.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{6 \cdot 1679616 - 1}{1679616}}{6 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.5.11

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.11.1

Nhân $6$ với $1679616$ .

$\frac{\frac{10077696 - 1}{1679616}}{6 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.5.11.2

Trừ $1$ khỏi $10077696$ .

$\frac{\frac{10077695}{1679616}}{6 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.6

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Nhân $6$ với $1$ .

$\frac{\frac{10077695}{1679616}}{6 - 1}$

Bước 5.6.2

Trừ $1$ khỏi $6$ .

$\frac{\frac{10077695}{1679616}}{5}$

Bước 5.7

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{10077695}{1679616} \cdot \frac{1}{5}$

Bước 5.8

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.1

Đưa $5$ ra ngoài $10077695$ .

$\frac{5 (2015539)}{1679616} \cdot \frac{1}{5}$

Bước 5.8.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 \cdot 2015539}{1679616} \cdot \frac{1}{5}$

Bước 5.8.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2015539}{1679616}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{2015539}{1679616}$

Dạng thập phân:

$1.19999988 \dots$

Dạng hỗn số:

$1 \frac{335923}{1679616}$