Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\frac{1}{3} \cdot (2 \ln (x + 3) + \ln (x) - \ln (x^{2} - 1))$

Bước 1

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{3} \cdot (2 \ln (x + 3) + \ln (\frac{x}{x^{2} - 1}))$

Bước 2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn $2 \ln (x + 3)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$\frac{1}{3} \cdot (\ln ({(x + 3)}^{2}) + \ln (\frac{x}{x^{2} - 1}))$

Bước 2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{1}{3} \cdot (\ln ({(x + 3)}^{2}) + \ln (\frac{x}{x^{2} - 1^{2}}))$

Bước 2.2.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot (\ln ({(x + 3)}^{2}) + \ln (\frac{x}{(x + 1) (x - 1)}))$

Bước 3

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{1}{3} \cdot \ln ({(x + 3)}^{2} \frac{x}{(x + 1) (x - 1)})$

Bước 4

Kết hợp ${(x + 3)}^{2}$ và $\frac{x}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{{(x + 3)}^{2} x}{(x + 1) (x - 1)})$

Bước 5

Rút gọn $\frac{1}{3} \ln (\frac{{(x + 3)}^{2} x}{(x + 1) (x - 1)})$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{3}$ trong logarit.

$\ln ({(\frac{{(x + 3)}^{2} x}{(x + 1) (x - 1)})}^{\frac{1}{3}})$

Bước 6

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{{(x + 3)}^{2} x}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$\ln (\frac{{({(x + 3)}^{2} x)}^{\frac{1}{3}}}{{((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{3}}})$

Bước 6.2

Áp dụng quy tắc tích số cho ${(x + 3)}^{2} x$ .

$\ln (\frac{{({(x + 3)}^{2})}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}}{{((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{3}}})$

Bước 6.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $(x + 1) (x - 1)$ .

$\ln (\frac{{({(x + 3)}^{2})}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}})$

Bước 7

Nhân các số mũ trong ${({(x + 3)}^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{{(x + 3)}^{2 (\frac{1}{3})} x^{\frac{1}{3}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}})$

Bước 7.2

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{3}$ .

$\ln (\frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}})$