Giải tích sơ cấp Ví dụ

$- 5 \sqrt{3} - 5 i$

Bước 1

Đây là dạng lượng giác của một số phức trong đó $| z |$ là mô-đun và $θ$ là góc được tạo trên mặt phẳng phức.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Bước 2

Mô-đun của một số phức là khoảng cách từ gốc tọa độ trên mặt phẳng phức.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ trong đó $z = a + b i$

Bước 3

Thay các giá trị thực tế của $a = - 5 \sqrt{3}$ và $b = - 5$ .

$| z | = \sqrt{{(- 5)}^{2} + {(- 5 \sqrt{3})}^{2}}$

Bước 4

Tìm $| z |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Nâng $- 5$ lên lũy thừa $2$ .

$| z | = \sqrt{25 + {(- 5 \sqrt{3})}^{2}}$

Bước 4.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $- 5 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{25 + {(- 5)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Bước 4.1.3

Nâng $- 5$ lên lũy thừa $2$ .

$| z | = \sqrt{25 + 25 {\sqrt{3}}^{2}}$

Bước 4.2

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{25 + 25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 4.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{25 + 25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 4.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$| z | = \sqrt{25 + 25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 4.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$| z | = \sqrt{25 + 25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 4.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$| z | = \sqrt{25 + 25 \cdot 3}$

Bước 4.2.5

Tính số mũ.

$| z | = \sqrt{25 + 25 \cdot 3}$

Bước 4.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Nhân $25$ với $3$ .

$| z | = \sqrt{25 + 75}$

Bước 4.3.2

Cộng $25$ và $75$ .

$| z | = \sqrt{100}$

Bước 4.3.3

Viết lại $100$ ở dạng $10^{2}$ .

$| z | = \sqrt{10^{2}}$

Bước 4.3.4

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$| z | = 10$

Bước 5

Góc của điểm trên mặt phẳng phức là nghịch đảo tang của phần phức trên phần thực.

$θ = \arctan (\frac{- 5}{- 5 \sqrt{3}})$

Bước 6

Vì tang nghịch đảo của $\frac{- 5}{- 5 \sqrt{3}}$ tạo ra một góc trong góc phần tư thứ ba, giá trị của góc là $\frac{7 π}{6}$ .

$θ = \frac{7 π}{6}$

Bước 7

Thay các giá trị của $θ = \frac{7 π}{6}$ và $| z | = 10$ .

$10 (\cos (\frac{7 π}{6}) + i \sin (\frac{7 π}{6}))$