Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = x^{2} + 18 x$

Bước 1

Tìm các thuộc tính của parabol đã cho.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại phương trình ở dạng đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Hoàn thành bình phương cho $x^{2} + 18 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 1$

$b = 18$

$c = 0$

Bước 1.1.1.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.1.1.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{18}{2 \cdot 1}$

Bước 1.1.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $18$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $18$ .

$d = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 1}$

Bước 1.1.1.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 9}{2 (1)}$

Bước 1.1.1.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 1}$

Bước 1.1.1.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{9}{1}$

Bước 1.1.1.3.2.2.4

Chia $9$ cho $1$ .

$d = 9$

Bước 1.1.1.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{18^{2}}{4 \cdot 1}$

Bước 1.1.1.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.4.2.1.1

Nâng $18$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{324}{4 \cdot 1}$

Bước 1.1.1.4.2.1.2

Nhân $4$ với $1$ .

$e = 0 - \frac{324}{4}$

Bước 1.1.1.4.2.1.3

Chia $324$ cho $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 81$

Bước 1.1.1.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $81$ .

$e = 0 - 81$

Bước 1.1.1.4.2.2

Trừ $81$ khỏi $0$ .

$e = - 81$

Bước 1.1.1.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh ${(x + 9)}^{2} - 81$ .

${(x + 9)}^{2} - 81$

Bước 1.1.2

Đặt $y$ bằng với vế phải mới.

$y = {(x + 9)}^{2} - 81$

Bước 1.2

Sử dụng dạng đỉnh, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , xác định giá trị của $a$ , $h$ và $k$ .

$a = 1$

$h = - 9$

$k = - 81$

Bước 1.3

Vì giá trị của $a$ dương, nên parabol quay mặt lõm lên trên.

Quay mặt lõm lên

Bước 1.4

Tìm đỉnh $(h, k)$ .

$(- 9, - 81)$

Bước 1.5

Tìm $p$ , khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Tìm khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm của đường parabol bằng công thức sau.

$\frac{1}{4 a}$

Bước 1.5.2

Thay giá trị của $a$ vào công thức.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Bước 1.5.3

Triệt tiêu thừa số chung $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Bước 1.5.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{4}$

Bước 1.6

Tìm tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Có thể tìm tiêu điểm của một parabol bằng cách cộng $p$ vào tọa độ y $k$ nếu parabol quay mặt lõm trên hoặc xuống dưới.

$(h, k + p)$

Bước 1.6.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $p$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(- 9, - \frac{323}{4})$

Bước 1.7

Tìm trục đối xứng bằng cách tìm một đường thẳng đi qua đỉnh và tiêu điểm.

$x = - 9$

Bước 1.8

Tìm đường chuẩn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1

Đường chuẩn của một parabol là đường thẳng nằm ngang tìm được bằng cách trừ $p$ từ tọa độ y $k$ của đỉnh nếu parabol lõm hoặc lồi.

$y = k - p$

Bước 1.8.2

Thay các giá trị đã biết của $p$ và $k$ vào công thức và rút gọn.

$y = - \frac{325}{4}$

Bước 1.9

Sử dụng các tính chất của parabol để phân tích và vẽ đồ thị đường parabol.

Hướng: Quay mặt lõm lên

Đỉnh: $(- 9, - 81)$

Tiêu điểm: $(- 9, - \frac{323}{4})$

Trục đối xứng: $x = - 9$

Đường chuẩn: $y = - \frac{325}{4}$

Hướng: Quay mặt lõm lên

Đỉnh: $(- 9, - 81)$

Tiêu điểm: $(- 9, - \frac{323}{4})$

Trục đối xứng: $x = - 9$

Đường chuẩn: $y = - \frac{325}{4}$

Bước 2

Chọn một vài giá trị $x$ và điền chúng vào phương trình để tìm các giá trị $y$ tương ứng. Các giá trị $x$ nên được chọn xung quanh đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 10$ trong biểu thức.

$f (- 10) = {(- 10)}^{2} + 18 (- 10)$

Bước 2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Nâng $- 10$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 10) = 100 + 18 (- 10)$

Bước 2.2.1.2

Nhân $18$ với $- 10$ .

$f (- 10) = 100 - 180$

Bước 2.2.2

Trừ $180$ khỏi $100$ .

$f (- 10) = - 80$

Bước 2.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 80$ .

$- 80$

Bước 2.3

Giá trị $y$ tại $x = - 10$ là $- 80$ .

$y = - 80$

Bước 2.4

Thay thế biến $x$ bằng $- 11$ trong biểu thức.

$f (- 11) = {(- 11)}^{2} + 18 (- 11)$

Bước 2.5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.1

Nâng $- 11$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 11) = 121 + 18 (- 11)$

Bước 2.5.1.2

Nhân $18$ với $- 11$ .

$f (- 11) = 121 - 198$

Bước 2.5.2

Trừ $198$ khỏi $121$ .

$f (- 11) = - 77$

Bước 2.5.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 77$ .

$- 77$

Bước 2.6

Giá trị $y$ tại $x = - 11$ là $- 77$ .

$y = - 77$

Bước 2.7

Thay thế biến $x$ bằng $- 8$ trong biểu thức.

$f (- 8) = {(- 8)}^{2} + 18 (- 8)$

Bước 2.8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1.1

Nâng $- 8$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 8) = 64 + 18 (- 8)$

Bước 2.8.1.2

Nhân $18$ với $- 8$ .

$f (- 8) = 64 - 144$

Bước 2.8.2

Trừ $144$ khỏi $64$ .

$f (- 8) = - 80$

Bước 2.8.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 80$ .

$- 80$

Bước 2.9

Giá trị $y$ tại $x = - 8$ là $- 80$ .

$y = - 80$

Bước 2.10

Thay thế biến $x$ bằng $- 7$ trong biểu thức.

$f (- 7) = {(- 7)}^{2} + 18 (- 7)$

Bước 2.11

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.1.1

Nâng $- 7$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 7) = 49 + 18 (- 7)$

Bước 2.11.1.2

Nhân $18$ với $- 7$ .

$f (- 7) = 49 - 126$

Bước 2.11.2

Trừ $126$ khỏi $49$ .

$f (- 7) = - 77$

Bước 2.11.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 77$ .

$- 77$

Bước 2.12

Giá trị $y$ tại $x = - 7$ là $- 77$ .

$y = - 77$

Bước 2.13

Vẽ đồ thị parabol bằng các thuộc tính của nó và các điểm đã chọn.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 11 & - 77 \\ - 10 & - 80 \\ - 9 & - 81 \\ - 8 & - 80 \\ - 7 & - 77 \end{array}$

Bước 3

Vẽ đồ thị parabol bằng các thuộc tính của nó và các điểm đã chọn.

Hướng: Quay mặt lõm lên

Đỉnh: $(- 9, - 81)$

Tiêu điểm: $(- 9, - \frac{323}{4})$

Trục đối xứng: $x = - 9$

Đường chuẩn: $y = - \frac{325}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 11 & - 77 \\ - 10 & - 80 \\ - 9 & - 81 \\ - 8 & - 80 \\ - 7 & - 77 \end{array}$

Bước 4