Giải tích sơ cấp Ví dụ

$y = 4 \sin (3 x - \frac{1}{3} \cdot π) + 1$

Bước 1

Sử dụng dạng $a \sin (b x - c) + d$ để tìm các biến được sử dụng để tìm biên độ, chu kỳ, độ lệch pha, và sự dịch chuyển dọc.

$a = 4$

$b = 3$

$c = \frac{π}{3}$

$d = 1$

Bước 2

Tìm biên độ $| a |$ .

Biên độ: $4$

Bước 3

Tìm chu kỳ bằng công thức $\frac{2 π}{| b |}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm chu kỳ của $4 \sin (3 x - \frac{π}{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 3.1.2

Thay thế $b$ với $3$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Bước 3.1.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $3$ là $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Bước 3.2

Tìm chu kỳ của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 3.2.2

Thay thế $b$ với $3$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Bước 3.2.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $3$ là $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Bước 3.3

Chu kỳ của phép cộng/phép trừ của các hàm lượng giác là giá trị cực đại của các chu kỳ riêng lẻ.

$\frac{2 π}{3}$

Bước 4

Tìm độ lệch pha bằng công thức $\frac{c}{b}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Độ lệch pha của hàm số có thể được tính từ $\frac{c}{b}$ .

Độ lệch pha: $\frac{c}{b}$

Bước 4.2

Thay thế các giá trị của $c$ và $b$ vào phương trình cho độ lệch pha.

Độ lệch pha: $\frac{\frac{π}{3}}{3}$

Bước 4.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

Độ lệch pha: $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Bước 4.4

Nhân $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Nhân $\frac{π}{3}$ với $\frac{1}{3}$ .

Độ lệch pha: $\frac{π}{3 \cdot 3}$

Bước 4.4.2

Nhân $3$ với $3$ .

Độ lệch pha: $\frac{π}{9}$

Bước 5

Liệt kê các tính chất của hàm lượng giác.

Biên độ: $4$

Chu kỳ: $\frac{2 π}{3}$

Độ lệch pha: $\frac{π}{9}$ ( $\frac{π}{9}$ sang bên phải)

Dịch chuyển dọc: $1$

Bước 6

Chọn một vài điểm để vẽ đồ thị.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tìm một điểm tại $x = \frac{π}{9}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{π}{9}$ trong biểu thức.

$f (\frac{π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{π}{9}) - \frac{π}{3}) + 1$

Bước 6.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.1.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$f (\frac{π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{π}{3 (3)}) - \frac{π}{3}) + 1$

Bước 6.1.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{π}{3 \cdot 3}) - \frac{π}{3}) + 1$

Bước 6.1.2.1.1.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{π}{9}) = 4 \sin (\frac{π}{3} - \frac{π}{3}) + 1$

Bước 6.1.2.1.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{π}{9}) = 4 \sin (\frac{π - π}{3}) + 1$

Bước 6.1.2.1.3

Trừ $π$ khỏi $π$ .

$f (\frac{π}{9}) = 4 \sin (\frac{0}{3}) + 1$

Bước 6.1.2.1.4

Chia $0$ cho $3$ .

$f (\frac{π}{9}) = 4 \sin (0) + 1$

Bước 6.1.2.1.5

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$f (\frac{π}{9}) = 4 \cdot 0 + 1$

Bước 6.1.2.1.6

Nhân $4$ với $0$ .

$f (\frac{π}{9}) = 0 + 1$

Bước 6.1.2.2

Cộng $0$ và $1$ .

$f (\frac{π}{9}) = 1$

Bước 6.1.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $1$ .

$1$

Bước 6.2

Tìm một điểm tại $x = \frac{5 π}{18}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{5 π}{18}$ trong biểu thức.

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (3 (\frac{5 π}{18}) - \frac{π}{3}) + 1$

Bước 6.2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $18$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (3 (\frac{5 π}{3 (6)}) - \frac{π}{3}) + 1$

Bước 6.2.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (3 (\frac{5 π}{3 \cdot 6}) - \frac{π}{3}) + 1$

Bước 6.2.2.1.1.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{5 π}{6} - \frac{π}{3}) + 1$

Bước 6.2.2.1.2

Để viết $- \frac{π}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{5 π}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}) + 1$

Bước 6.2.2.1.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $6$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.3.1

Nhân $\frac{π}{3}$ với $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{5 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}) + 1$

Bước 6.2.2.1.3.2

Nhân $3$ với $2$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{5 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}) + 1$

Bước 6.2.2.1.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{5 π - π \cdot 2}{6}) + 1$

Bước 6.2.2.1.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.5.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{5 π - 2 π}{6}) + 1$

Bước 6.2.2.1.5.2

Trừ $2 π$ khỏi $5 π$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 π}{6}) + 1$

Bước 6.2.2.1.6

Triệt tiêu thừa số chung của $3$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.6.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 π$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 (π)}{6}) + 1$

Bước 6.2.2.1.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.6.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2}) + 1$

Bước 6.2.2.1.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2}) + 1$

Bước 6.2.2.1.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{π}{2}) + 1$

Bước 6.2.2.1.7

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \cdot 1 + 1$

Bước 6.2.2.1.8

Nhân $4$ với $1$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 + 1$

Bước 6.2.2.2

Cộng $4$ và $1$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 5$

Bước 6.2.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $5$ .

$5$

Bước 6.3

Tìm một điểm tại $x = \frac{4 π}{9}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{4 π}{9}$ trong biểu thức.

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{4 π}{9}) - \frac{π}{3}) + 1$

Bước 6.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{4 π}{3 (3)}) - \frac{π}{3}) + 1$

Bước 6.3.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{4 π}{3 \cdot 3}) - \frac{π}{3}) + 1$

Bước 6.3.2.1.1.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (\frac{4 π}{3} - \frac{π}{3}) + 1$

Bước 6.3.2.1.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (\frac{4 π - π}{3}) + 1$

Bước 6.3.2.1.3

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (\frac{3 π}{3}) + 1$

Bước 6.3.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (\frac{3 π}{3}) + 1$

Bước 6.3.2.1.4.2

Chia $π$ cho $1$ .

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (π) + 1$

Bước 6.3.2.1.5

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (0) + 1$

Bước 6.3.2.1.6

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \cdot 0 + 1$

Bước 6.3.2.1.7

Nhân $4$ với $0$ .

$f (\frac{4 π}{9}) = 0 + 1$

Bước 6.3.2.2

Cộng $0$ và $1$ .

$f (\frac{4 π}{9}) = 1$

Bước 6.3.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $1$ .

$1$

Bước 6.4

Tìm một điểm tại $x = \frac{11 π}{18}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{11 π}{18}$ trong biểu thức.

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (3 (\frac{11 π}{18}) - \frac{π}{3}) + 1$

Bước 6.4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $18$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (3 (\frac{11 π}{3 (6)}) - \frac{π}{3}) + 1$

Bước 6.4.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (3 (\frac{11 π}{3 \cdot 6}) - \frac{π}{3}) + 1$

Bước 6.4.2.1.1.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{11 π}{6} - \frac{π}{3}) + 1$

Bước 6.4.2.1.2

Để viết $- \frac{π}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{11 π}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}) + 1$

Bước 6.4.2.1.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $6$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1.3.1

Nhân $\frac{π}{3}$ với $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{11 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}) + 1$

Bước 6.4.2.1.3.2

Nhân $3$ với $2$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{11 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}) + 1$

Bước 6.4.2.1.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{11 π - π \cdot 2}{6}) + 1$

Bước 6.4.2.1.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1.5.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{11 π - 2 π}{6}) + 1$

Bước 6.4.2.1.5.2

Trừ $2 π$ khỏi $11 π$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{9 π}{6}) + 1$

Bước 6.4.2.1.6

Triệt tiêu thừa số chung của $9$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1.6.1

Đưa $3$ ra ngoài $9 π$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 (3 π)}{6}) + 1$

Bước 6.4.2.1.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1.6.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 (3 π)}{3 (2)}) + 1$

Bước 6.4.2.1.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2}) + 1$

Bước 6.4.2.1.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 π}{2}) + 1$

Bước 6.4.2.1.7

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì sin âm trong góc phần tư thứ tư.

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 (- \sin (\frac{π}{2})) + 1$

Bước 6.4.2.1.8

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 (- 1 \cdot 1) + 1$

Bước 6.4.2.1.9

Nhân $4 (- 1 \cdot 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1.9.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \cdot - 1 + 1$

Bước 6.4.2.1.9.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = - 4 + 1$

Bước 6.4.2.2

Cộng $- 4$ và $1$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = - 3$

Bước 6.4.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 3$ .

$- 3$

Bước 6.5

Tìm một điểm tại $x = \frac{7 π}{9}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{7 π}{9}$ trong biểu thức.

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{7 π}{9}) - \frac{π}{3}) + 1$

Bước 6.5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.1.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{7 π}{3 (3)}) - \frac{π}{3}) + 1$

Bước 6.5.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{7 π}{3 \cdot 3}) - \frac{π}{3}) + 1$

Bước 6.5.2.1.1.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (\frac{7 π}{3} - \frac{π}{3}) + 1$

Bước 6.5.2.1.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (\frac{7 π - π}{3}) + 1$

Bước 6.5.2.1.3

Trừ $π$ khỏi $7 π$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (\frac{6 π}{3}) + 1$

Bước 6.5.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.1.4.1

Đưa $3$ ra ngoài $6 π$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (\frac{3 (2 π)}{3}) + 1$

Bước 6.5.2.1.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.1.4.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (\frac{3 (2 π)}{3 (1)}) + 1$

Bước 6.5.2.1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1}) + 1$

Bước 6.5.2.1.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (\frac{2 π}{1}) + 1$

Bước 6.5.2.1.4.2.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (2 π) + 1$

Bước 6.5.2.1.5

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (0) + 1$

Bước 6.5.2.1.6

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \cdot 0 + 1$

Bước 6.5.2.1.7

Nhân $4$ với $0$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = 0 + 1$

Bước 6.5.2.2

Cộng $0$ và $1$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = 1$

Bước 6.5.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $1$ .

$1$

Bước 6.6

Liệt kê các điểm trong một bảng.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{9} & 1 \\ \frac{5 π}{18} & 5 \\ \frac{4 π}{9} & 1 \\ \frac{11 π}{18} & - 3 \\ \frac{7 π}{9} & 1 \end{array}$

Bước 7

Hàm lượng giác có thể được vẽ đồ thị bằng biên độ, chu kỳ, độ lệch pha, sự dịch chuyển dọc và các điểm.

Biên độ: $4$

Chu kỳ: $\frac{2 π}{3}$

Độ lệch pha: $\frac{π}{9}$ ( $\frac{π}{9}$ sang bên phải)

Dịch chuyển dọc: $1$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{9} & 1 \\ \frac{5 π}{18} & 5 \\ \frac{4 π}{9} & 1 \\ \frac{11 π}{18} & - 3 \\ \frac{7 π}{9} & 1 \end{array}$

Bước 8