Giải tích sơ cấp Ví dụ

$y = \frac{1}{2} x^{2} - x - 6$

Bước 1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} - x - 6$

Bước 2

Tìm các thuộc tính của parabol đã cho.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại phương trình ở dạng đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Hoàn thành bình phương cho $\frac{x^{2}}{2} - x - 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = \frac{1}{2}$

$b = - 1$

$c = - 6$

Bước 2.1.1.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 2.1.1.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 1}{2 (\frac{1}{2})}$

Bước 2.1.1.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.3.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{- 1}{\frac{2}{2}}$

Bước 2.1.1.3.2.2

Chia $2$ cho $2$ .

$d = \frac{- 1}{1}$

Bước 2.1.1.3.2.3

Chia $- 1$ cho $1$ .

$d = - 1$

Bước 2.1.1.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 6 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Bước 2.1.1.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.4.2.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$e = - 6 - \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Bước 2.1.1.4.2.1.2

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{2}$ .

$e = - 6 - \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Bước 2.1.1.4.2.1.3

Chia $4$ cho $2$ .

$e = - 6 - \frac{1}{2}$

Bước 2.1.1.4.2.2

Để viết $- 6$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$e = - 6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Bước 2.1.1.4.2.3

Kết hợp $- 6$ và $\frac{2}{2}$ .

$e = \frac{- 6 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Bước 2.1.1.4.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$e = \frac{- 6 \cdot 2 - 1}{2}$

Bước 2.1.1.4.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.4.2.5.1

Nhân $- 6$ với $2$ .

$e = \frac{- 12 - 1}{2}$

Bước 2.1.1.4.2.5.2

Trừ $1$ khỏi $- 12$ .

$e = \frac{- 13}{2}$

Bước 2.1.1.4.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$e = - \frac{13}{2}$

Bước 2.1.1.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $\frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} - \frac{13}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} - \frac{13}{2}$

Bước 2.1.2

Đặt $y$ bằng với vế phải mới.

$y = \frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{2} - \frac{13}{2}$

Bước 2.2

Sử dụng dạng đỉnh, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , xác định giá trị của $a$ , $h$ và $k$ .

$a = \frac{1}{2}$

$h = 1$

$k = - \frac{13}{2}$

Bước 2.3

Vì giá trị của $a$ dương, nên parabol quay mặt lõm lên trên.

Quay mặt lõm lên

Bước 2.4

Tìm đỉnh $(h, k)$ .

$(1, - \frac{13}{2})$

Bước 2.5

Tìm $p$ , khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Tìm khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm của đường parabol bằng công thức sau.

$\frac{1}{4 a}$

Bước 2.5.2

Thay giá trị của $a$ vào công thức.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Bước 2.5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.3.1

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Bước 2.5.3.2

Chia $4$ cho $2$ .

$\frac{1}{2}$

Bước 2.6

Tìm tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Có thể tìm tiêu điểm của một parabol bằng cách cộng $p$ vào tọa độ y $k$ nếu parabol quay mặt lõm trên hoặc xuống dưới.

$(h, k + p)$

Bước 2.6.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $p$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(1, - 6)$

Bước 2.7

Tìm trục đối xứng bằng cách tìm một đường thẳng đi qua đỉnh và tiêu điểm.

$x = 1$

Bước 2.8

Tìm đường chuẩn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Đường chuẩn của một parabol là đường thẳng nằm ngang tìm được bằng cách trừ $p$ từ tọa độ y $k$ của đỉnh nếu parabol lõm hoặc lồi.

$y = k - p$

Bước 2.8.2

Thay các giá trị đã biết của $p$ và $k$ vào công thức và rút gọn.

$y = - 7$

Bước 2.9

Sử dụng các tính chất của parabol để phân tích và vẽ đồ thị đường parabol.

Hướng: Quay mặt lõm lên

Đỉnh: $(1, - \frac{13}{2})$

Tiêu điểm: $(1, - 6)$

Trục đối xứng: $x = 1$

Đường chuẩn: $y = - 7$

Hướng: Quay mặt lõm lên

Đỉnh: $(1, - \frac{13}{2})$

Tiêu điểm: $(1, - 6)$

Trục đối xứng: $x = 1$

Đường chuẩn: $y = - 7$

Bước 3

Chọn một vài giá trị $x$ và điền chúng vào phương trình để tìm các giá trị $y$ tương ứng. Các giá trị $x$ nên được chọn xung quanh đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} - (0) - 6$

Bước 3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Viết $- (0)$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{- (0)}{1} - 6$

Bước 3.2.1.2

Nhân $\frac{- (0)}{1}$ với $\frac{2}{2}$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{- (0)}{1} \cdot \frac{2}{2} - 6$

Bước 3.2.1.3

Nhân $\frac{- (0)}{1}$ với $\frac{2}{2}$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{0 \cdot 2}{2} - 6$

Bước 3.2.1.4

Viết $- 6$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{0 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1}$

Bước 3.2.1.5

Nhân $\frac{- 6}{1}$ với $\frac{2}{2}$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{0 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Bước 3.2.1.6

Nhân $\frac{- 6}{1}$ với $\frac{2}{2}$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{0 \cdot 2}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}$

Bước 3.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (0) = \frac{{(0)}^{2} + 0 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Bước 3.2.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Bước 3.2.3.2

Nhân $- (0) \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.2.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Bước 3.2.3.2.2

Nhân $0$ với $2$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 - 6 \cdot 2}{2}$

Bước 3.2.3.3

Nhân $- 6$ với $2$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 - 12}{2}$

Bước 3.2.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Cộng $0$ và $0$ .

$f (0) = \frac{0 - 12}{2}$

Bước 3.2.4.2

Trừ $12$ khỏi $0$ .

$f (0) = \frac{- 12}{2}$

Bước 3.2.4.3

Chia $- 12$ cho $2$ .

$f (0) = - 6$

Bước 3.2.5

Câu trả lời cuối cùng là $- 6$ .

$- 6$

Bước 3.3

Giá trị $y$ tại $x = 0$ là $- 6$ .

$y = - 6$

Bước 3.4

Thay thế biến $x$ bằng $- 1$ trong biểu thức.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} - (- 1) - 6$

Bước 3.5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.1

Viết $- (- 1)$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{- (- 1)}{1} - 6$

Bước 3.5.1.2

Nhân $\frac{- (- 1)}{1}$ với $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{- (- 1)}{1} \cdot \frac{2}{2} - 6$

Bước 3.5.1.3

Nhân $\frac{- (- 1)}{1}$ với $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{1 \cdot 2}{2} - 6$

Bước 3.5.1.4

Viết $- 6$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{1 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1}$

Bước 3.5.1.5

Nhân $\frac{- 6}{1}$ với $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{1 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Bước 3.5.1.6

Nhân $\frac{- 6}{1}$ với $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{1 \cdot 2}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}$

Bước 3.5.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2} + 1 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Bước 3.5.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 1) = \frac{1 + 1 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Bước 3.5.3.2

Nhân $- (- 1) \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{1 + 1 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Bước 3.5.3.2.2

Nhân $2$ với $1$ .

$f (- 1) = \frac{1 + 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Bước 3.5.3.3

Nhân $- 6$ với $2$ .

$f (- 1) = \frac{1 + 2 - 12}{2}$

Bước 3.5.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.4.1

Cộng $1$ và $2$ .

$f (- 1) = \frac{3 - 12}{2}$

Bước 3.5.4.2

Trừ $12$ khỏi $3$ .

$f (- 1) = \frac{- 9}{2}$

Bước 3.5.4.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (- 1) = - \frac{9}{2}$

Bước 3.5.5

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{9}{2}$ .

$- \frac{9}{2}$

Bước 3.6

Giá trị $y$ tại $x = - 1$ là $- \frac{9}{2}$ .

$y = - \frac{9}{2}$

Bước 3.7

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} - (2) - 6$

Bước 3.8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1.1

Viết $- (2)$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- (2)}{1} - 6$

Bước 3.8.1.2

Nhân $\frac{- (2)}{1}$ với $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- (2)}{1} \cdot \frac{2}{2} - 6$

Bước 3.8.1.3

Nhân $\frac{- (2)}{1}$ với $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} - 6$

Bước 3.8.1.4

Viết $- 6$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1}$

Bước 3.8.1.5

Nhân $\frac{- 6}{1}$ với $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Bước 3.8.1.6

Nhân $\frac{- 6}{1}$ với $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}$

Bước 3.8.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (2) = \frac{{(2)}^{2} - 2 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Bước 3.8.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.3.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f (2) = \frac{4 - 2 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Bước 3.8.3.2

Nhân $- (2) \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.3.2.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f (2) = \frac{4 - 2 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Bước 3.8.3.2.2

Nhân $- 2$ với $2$ .

$f (2) = \frac{4 - 4 - 6 \cdot 2}{2}$

Bước 3.8.3.3

Nhân $- 6$ với $2$ .

$f (2) = \frac{4 - 4 - 12}{2}$

Bước 3.8.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.4.1

Trừ $4$ khỏi $4$ .

$f (2) = \frac{0 - 12}{2}$

Bước 3.8.4.2

Trừ $12$ khỏi $0$ .

$f (2) = \frac{- 12}{2}$

Bước 3.8.4.3

Chia $- 12$ cho $2$ .

$f (2) = - 6$

Bước 3.8.5

Câu trả lời cuối cùng là $- 6$ .

$- 6$

Bước 3.9

Giá trị $y$ tại $x = 2$ là $- 6$ .

$y = - 6$

Bước 3.10

Thay thế biến $x$ bằng $4$ trong biểu thức.

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} - (4) - 6$

Bước 3.11

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.1

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.1.1

Viết $- (4)$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- (4)}{1} - 6$

Bước 3.11.1.2

Nhân $\frac{- (4)}{1}$ với $\frac{2}{2}$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- (4)}{1} \cdot \frac{2}{2} - 6$

Bước 3.11.1.3

Nhân $\frac{- (4)}{1}$ với $\frac{2}{2}$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2} - 6$

Bước 3.11.1.4

Viết $- 6$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1}$

Bước 3.11.1.5

Nhân $\frac{- 6}{1}$ với $\frac{2}{2}$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Bước 3.11.1.6

Nhân $\frac{- 6}{1}$ với $\frac{2}{2}$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}$

Bước 3.11.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (4) = \frac{{(4)}^{2} - 4 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Bước 3.11.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.3.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$f (4) = \frac{16 - 4 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Bước 3.11.3.2

Nhân $- (4) \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.3.2.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$f (4) = \frac{16 - 4 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Bước 3.11.3.2.2

Nhân $- 4$ với $2$ .

$f (4) = \frac{16 - 8 - 6 \cdot 2}{2}$

Bước 3.11.3.3

Nhân $- 6$ với $2$ .

$f (4) = \frac{16 - 8 - 12}{2}$

Bước 3.11.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.4.1

Trừ $8$ khỏi $16$ .

$f (4) = \frac{8 - 12}{2}$

Bước 3.11.4.2

Trừ $12$ khỏi $8$ .

$f (4) = \frac{- 4}{2}$

Bước 3.11.4.3

Chia $- 4$ cho $2$ .

$f (4) = - 2$

Bước 3.11.5

Câu trả lời cuối cùng là $- 2$ .

$- 2$

Bước 3.12

Giá trị $y$ tại $x = 4$ là $- 2$ .

$y = - 2$

Bước 3.13

Vẽ đồ thị parabol bằng các thuộc tính của nó và các điểm đã chọn.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - \frac{9}{2} \\ 0 & - 6 \\ 1 & - \frac{13}{2} \\ 2 & - 6 \\ 4 & - 2 \end{array}$

Bước 4

Vẽ đồ thị parabol bằng các thuộc tính của nó và các điểm đã chọn.

Hướng: Quay mặt lõm lên

Đỉnh: $(1, - \frac{13}{2})$

Tiêu điểm: $(1, - 6)$

Trục đối xứng: $x = 1$

Đường chuẩn: $y = - 7$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - \frac{9}{2} \\ 0 & - 6 \\ 1 & - \frac{13}{2} \\ 2 & - 6 \\ 4 & - 2 \end{array}$

Bước 5