Giải tích sơ cấp Ví dụ

$y^{2} = \frac{1}{2} x$

Bước 1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{1}{2} x = y^{2}$ .

$\frac{1}{2} x = y^{2}$

Bước 2

Nhân cả hai vế của phương trình với $2$ .

$2 (\frac{1}{2} x) = 2 y^{2}$

Bước 3

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn $2 (\frac{1}{2} x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 y^{2}$

Bước 3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{x}{2} = 2 y^{2}$

Bước 3.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$x = 2 y^{2}$

Bước 4

Tìm các thuộc tính của parabol đã cho.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Hoàn thành bình phương cho $2 y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 2$

$b = 0$

$c = 0$

Bước 4.1.1.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 4.1.1.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot 2}$

Bước 4.1.1.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot 2}$

Bước 4.1.1.3.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.3.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 2$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (2)}$

Bước 4.1.1.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 2}$

Bước 4.1.1.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{0}{2}$

Bước 4.1.1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2}$

Bước 4.1.1.3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.3.2.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}$

Bước 4.1.1.3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}$

Bước 4.1.1.3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{0}{1}$

Bước 4.1.1.3.2.2.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$d = 0$

Bước 4.1.1.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{0^{2}}{4 \cdot 2}$

Bước 4.1.1.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.4.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$e = 0 - \frac{0}{4 \cdot 2}$

Bước 4.1.1.4.2.1.2

Nhân $4$ với $2$ .

$e = 0 - \frac{0}{8}$

Bước 4.1.1.4.2.1.3

Chia $0$ cho $8$ .

$e = 0 - 0$

Bước 4.1.1.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $0$ .

$e = 0 + 0$

Bước 4.1.1.4.2.2

Cộng $0$ và $0$ .

$e = 0$

Bước 4.1.1.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $2 y^{2}$ .

$2 y^{2}$

Bước 4.1.2

Đặt $x$ bằng với vế phải mới.

$x = 2 y^{2}$

Bước 4.2

Sử dụng dạng đỉnh, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , xác định giá trị của $a$ , $h$ và $k$ .

$a = 2$

$h = 0$

$k = 0$

Bước 4.3

Vì giá trị của $a$ dương, nên parabol quay mặt lõm sang phải.

Quay mặt lõm sang phải

Bước 4.4

Tìm đỉnh $(h, k)$ .

$(0, 0)$

Bước 4.5

Tìm $p$ , khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Tìm khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm của đường parabol bằng công thức sau.

$\frac{1}{4 a}$

Bước 4.5.2

Thay giá trị của $a$ vào công thức.

$\frac{1}{4 \cdot 2}$

Bước 4.5.3

Nhân $4$ với $2$ .

$\frac{1}{8}$

Bước 4.6

Tìm tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Có thể tìm tiêu điểm của một parabol bằng cách cộng $p$ vào tọa độ x $h$ nếu parabol quay mặt lõm sang trái hoặc phải.

$(h + p, k)$

Bước 4.6.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $p$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(\frac{1}{8}, 0)$

Bước 4.7

Tìm trục đối xứng bằng cách tìm một đường thẳng đi qua đỉnh và tiêu điểm.

$y = 0$

Bước 4.8

Tìm đường chuẩn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1

Đường chuẩn của một parabol là đường thẳng đứng tìm được bằng cách trừ $p$ khỏi tọa độ x $h$ của đỉnh nếu parabol quay mặt lõm sang trái hoặc phải.

$x = h - p$

Bước 4.8.2

Thay các giá trị đã biết của $p$ và $h$ vào công thức và rút gọn.

$x = - \frac{1}{8}$

Bước 4.9

Sử dụng các tính chất của parabol để phân tích và vẽ đồ thị đường parabol.

Hướng: Quay mặt lõm sang phải

Đỉnh: $(0, 0)$

Tiêu điểm: $(\frac{1}{8}, 0)$

Trục đối xứng: $y = 0$

Đường chuẩn: $x = - \frac{1}{8}$

Hướng: Quay mặt lõm sang phải

Đỉnh: $(0, 0)$

Tiêu điểm: $(\frac{1}{8}, 0)$

Trục đối xứng: $y = 0$

Đường chuẩn: $x = - \frac{1}{8}$

Bước 5

Chọn một vài giá trị $x$ và điền chúng vào phương trình để tìm các giá trị $y$ tương ứng. Các giá trị $x$ nên được chọn xung quanh đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $x$ giá trị $1$ vào $f (x) = \frac{\sqrt{2 x}}{2}$ . Trong trường hợp này, điểm là $(1, 0.70710678)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f (1) = \frac{\sqrt{2 (1)}}{2}$

Bước 5.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Nhân $2$ với $1$ .

$f (1) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 5.1.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 5.1.3

Quy đổi $\frac{\sqrt{2}}{2}$ thành số thập phân.

$= 0.70710678$

Bước 5.2

Thay $x$ giá trị $1$ vào $f (x) = - \frac{\sqrt{2 x}}{2}$ . Trong trường hợp này, điểm là $(1, - 0.70710678)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f (1) = - \frac{\sqrt{2 (1)}}{2}$

Bước 5.2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Nhân $2$ với $1$ .

$f (1) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 5.2.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 5.2.3

Quy đổi $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ thành số thập phân.

$= - 0.70710678$

Bước 5.3

Thay $x$ giá trị $2$ vào $f (x) = \frac{\sqrt{2 x}}{2}$ . Trong trường hợp này, điểm là $(2, 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$f (2) = \frac{\sqrt{2 (2)}}{2}$

Bước 5.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Nhân $2$ với $2$ .

$f (2) = \frac{\sqrt{4}}{2}$

Bước 5.3.2.1.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$f (2) = \frac{\sqrt{2^{2}}}{2}$

Bước 5.3.2.1.3

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$f (2) = \frac{2}{2}$

Bước 5.3.2.2

Chia $2$ cho $2$ .

$f (2) = 1$

Bước 5.3.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $1$ .

$y = 1$

Bước 5.3.3

Quy đổi $1$ thành số thập phân.

$= 1$

Bước 5.4

Thay $x$ giá trị $2$ vào $f (x) = - \frac{\sqrt{2 x}}{2}$ . Trong trường hợp này, điểm là $(2, - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$f (2) = - \frac{\sqrt{2 (2)}}{2}$

Bước 5.4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Nhân $2$ với $2$ .

$f (2) = - \frac{\sqrt{4}}{2}$

Bước 5.4.2.1.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$f (2) = - \frac{\sqrt{2^{2}}}{2}$

Bước 5.4.2.1.3

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$f (2) = - \frac{2}{2}$

Bước 5.4.2.2

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (2) = - \frac{2}{2}$

Bước 5.4.2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$f (2) = - 1 \cdot 1$

Bước 5.4.2.2.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f (2) = - 1$

Bước 5.4.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 1$ .

$y = - 1$

Bước 5.4.3

Quy đổi $- 1$ thành số thập phân.

$= - 1$

Bước 5.5

Vẽ đồ thị parabol bằng các thuộc tính của nó và các điểm đã chọn.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 0.71 \\ 1 & - 0.71 \\ 2 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}$

Bước 6

Vẽ đồ thị parabol bằng các thuộc tính của nó và các điểm đã chọn.

Hướng: Quay mặt lõm sang phải

Đỉnh: $(0, 0)$

Tiêu điểm: $(\frac{1}{8}, 0)$

Trục đối xứng: $y = 0$

Đường chuẩn: $x = - \frac{1}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 0.71 \\ 1 & - 0.71 \\ 2 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}$

Bước 7