Giải tích sơ cấp Ví dụ

$x^{2} - 3 y^{2} + 8 x - 6 y + 4 = 0$

Bước 1

Tìm dạng chính tắc của hyperbol.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{2} - 3 y^{2} + 8 x - 6 y = - 4$

Bước 1.2

Hoàn thành bình phương cho $x^{2} + 8 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 1$

$b = 8$

$c = 0$

Bước 1.2.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.2.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $8$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

Bước 1.2.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{4}{1}$

Bước 1.2.3.2.2.4

Chia $4$ cho $1$ .

$d = 4$

Bước 1.2.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 1}$

Bước 1.2.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1.1

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

Bước 1.2.4.2.1.2

Nhân $4$ với $1$ .

$e = 0 - \frac{64}{4}$

Bước 1.2.4.2.1.3

Chia $64$ cho $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Bước 1.2.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $16$ .

$e = 0 - 16$

Bước 1.2.4.2.2

Trừ $16$ khỏi $0$ .

$e = - 16$

Bước 1.2.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh ${(x + 4)}^{2} - 16$ .

${(x + 4)}^{2} - 16$

Bước 1.3

Thay ${(x + 4)}^{2} - 16$ cho $x^{2} + 8 x$ trong phương trình $x^{2} - 3 y^{2} + 8 x - 6 y = - 4$ .

${(x + 4)}^{2} - 16 - 3 y^{2} - 6 y = - 4$

Bước 1.4

Di chuyển $- 16$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $16$ vào cả hai vế.

${(x + 4)}^{2} - 3 y^{2} - 6 y = - 4 + 16$

Bước 1.5

Hoàn thành bình phương cho $- 3 y^{2} - 6 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = - 3$

$b = - 6$

$c = 0$

Bước 1.5.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.5.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 6}{2 \cdot - 3}$

Bước 1.5.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 6$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot - 3}$

Bước 1.5.3.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot - 3$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 (- 3)}$

Bước 1.5.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot - 3}$

Bước 1.5.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 3}{- 3}$

Bước 1.5.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $- 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{- 3}{- 3}$

Bước 1.5.3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$d = 1$

Bước 1.5.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot - 3}$

Bước 1.5.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.2.1.1

Nâng $- 6$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot - 3}$

Bước 1.5.4.2.1.2

Nhân $4$ với $- 3$ .

$e = 0 - \frac{36}{- 12}$

Bước 1.5.4.2.1.3

Chia $36$ cho $- 12$ .

$e = 0 - - 3$

Bước 1.5.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $- 3$ .

$e = 0 + 3$

Bước 1.5.4.2.2

Cộng $0$ và $3$ .

$e = 3$

Bước 1.5.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $- 3 {(y + 1)}^{2} + 3$ .

$- 3 {(y + 1)}^{2} + 3$

Bước 1.6

Thay $- 3 {(y + 1)}^{2} + 3$ cho $- 3 y^{2} - 6 y$ trong phương trình $x^{2} - 3 y^{2} + 8 x - 6 y = - 4$ .

${(x + 4)}^{2} - 3 {(y + 1)}^{2} + 3 = - 4 + 16$

Bước 1.7

Di chuyển $3$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $3$ vào cả hai vế.

${(x + 4)}^{2} - 3 {(y + 1)}^{2} = - 4 + 16 - 3$

Bước 1.8

Rút gọn $- 4 + 16 - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1

Cộng $- 4$ và $16$ .

${(x + 4)}^{2} - 3 {(y + 1)}^{2} = 12 - 3$

Bước 1.8.2

Trừ $3$ khỏi $12$ .

${(x + 4)}^{2} - 3 {(y + 1)}^{2} = 9$

Bước 1.9

Chia mỗi số hạng cho $9$ để làm cho vế phải bằng một.

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{9} - \frac{3 {(y + 1)}^{2}}{9} = \frac{9}{9}$

Bước 1.10

Rút gọn từng số hạng trong phương trình để đặt vế phải bằng $1$ . Dạng chính tắc của hình elip hoặc hyperbol yêu cầu phía vế phải của phương trình bằng $1$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{9} - \frac{{(y + 1)}^{2}}{3} = 1$

Bước 2

Đây là dạng của một hyperbol. Sử dụng dạng này để xác định các giá trị được sử dụng để tìm các đỉnh và các tiệm cận của hyperbol.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Bước 3

Tương ứng các giá trị trong hyperbol này với dạng chính tắc. Biến $h$ là khoảng cách theo trục x tính từ gốc tọa độ, $k$ là khoảng cách theo trục y tính từ gốc tọa độ, $a$ .

$a = 3$

$b = \sqrt{3}$

$k = - 1$

$h = - 4$

Bước 4

Tâm của một hyperbol có dạng $(h, k)$ . Thay vào các giá trị của $h$ và $k$ .

$(- 4, - 1)$

Bước 5

Tìm $c$ , khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm của đường hyperbol bằng công thức sau.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Bước 5.2

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức.

$\sqrt{{(3)}^{2} + {(\sqrt{3})}^{2}}$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{9 + {(\sqrt{3})}^{2}}$

Bước 5.3.2

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{9 + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 5.3.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{9 + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 5.3.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\sqrt{9 + 3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 5.3.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sqrt{9 + 3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 5.3.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$\sqrt{9 + 3^{1}}$

Bước 5.3.2.5

Tính số mũ.

$\sqrt{9 + 3}$

Bước 5.3.3

Cộng $9$ và $3$ .

$\sqrt{12}$

Bước 5.3.4

Viết lại $12$ ở dạng $2^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$\sqrt{4 (3)}$

Bước 5.3.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Bước 5.3.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$2 \sqrt{3}$

Bước 6

Tìm các đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Có thể tìm đỉnh đầu tiên của một hyperbol bằng cách cộng $a$ vào $h$ .

$(h + a, k)$

Bước 6.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $a$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(- 1, - 1)$

Bước 6.3

Có thể tìm đỉnh thứ hai của một hyperbol bằng cách trừ $a$ từ $h$ .

$(h - a, k)$

Bước 6.4

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $a$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(- 7, - 1)$

Bước 6.5

Các đỉnh của một hyperbol có dạng $(h \pm a, k)$ . Hyperbol có hai đỉnh.

$(- 1, - 1), (- 7, - 1)$

Bước 7

Tìm tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Có thể tìm tiêu điểm đầu tiên của một hyperbol bằng cách cộng $c$ vào $h$ .

$(h + c, k)$

Bước 7.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $c$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(- 4 + 2 \sqrt{3}, - 1)$

Bước 7.3

Có thể tìm tiêu điểm thứ hai của một hyperbol bằng cách trừ $c$ từ $h$ .

$(h - c, k)$

Bước 7.4

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $c$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(- 4 - 2 \sqrt{3}, - 1)$

Bước 7.5

Tiêu điểm của một hyperbol có dạng $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Hyperbol có hai tiêu điểm.

$(- 4 + 2 \sqrt{3}, - 1), (- 4 - 2 \sqrt{3}, - 1)$

Bước 8

Tìm tâm sai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tìm tâm sai bằng công thức sau.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Bước 8.2

Thay giá trị của $a$ và $b$ vào công thức.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} + {(\sqrt{3})}^{2}}}{3}$

Bước 8.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + {\sqrt{3}}^{2}}}{3}$

Bước 8.3.2

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{9 + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{3}$

Bước 8.3.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{9 + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{3}$

Bước 8.3.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 3^{\frac{2}{2}}}}{3}$

Bước 8.3.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{9 + 3^{\frac{2}{2}}}}{3}$

Bước 8.3.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt{9 + 3^{1}}}{3}$

Bước 8.3.2.5

Tính số mũ.

$\frac{\sqrt{9 + 3}}{3}$

Bước 8.3.3

Cộng $9$ và $3$ .

$\frac{\sqrt{12}}{3}$

Bước 8.3.4

Viết lại $12$ ở dạng $2^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$\frac{\sqrt{4 (3)}}{3}$

Bước 8.3.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{3}$

Bước 8.3.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Bước 9

Tìm tham số tiêu.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tìm giá trị của thông số tiêu cự hyperbol bằng cách sử dụng công thức sau.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Bước 9.2

Thay các giá trị của $b$ và $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ vào công thức.

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2 \sqrt{3}}$

Bước 9.3

Triệt tiêu thừa số chung của ${\sqrt{3}}^{2}$ và $\sqrt{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Đưa $\sqrt{3}$ ra ngoài ${\sqrt{3}}^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2 \sqrt{3}}$

Bước 9.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.2.1

Đưa $\sqrt{3}$ ra ngoài $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot 2}$

Bước 9.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot 2}$

Bước 9.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 10

Các tiệm cận có dạng $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ vì hyperbol này quay mặt lõm sang trái và sang phải.

$y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - (- 4)) - 1$

Bước 11

Rút gọn để tìm tiệm cận thứ nhất.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - (- 4)) - 1$

Bước 11.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x + 4) - 1$

Bước 11.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 4 - 1$

Bước 11.2.3

Kết hợp $\frac{\sqrt{3}}{3}$ và $x$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 4 - 1$

Bước 11.2.4

Kết hợp $\frac{\sqrt{3}}{3}$ và $4$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{\sqrt{3} \cdot 4}{3} - 1$

Bước 11.2.5

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $\sqrt{3}$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} - 1$

Bước 12

Rút gọn để tìm tiệm cận thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - (- 4)) - 1$

Bước 12.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x + 4) - 1$

Bước 12.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 4 - 1$

Bước 12.2.3

Kết hợp $x$ và $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 4 - 1$

Bước 12.2.4

Nhân $- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.4.1

Nhân $4$ với $- 1$ .

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3} - 1$

Bước 12.2.4.2

Kết hợp $- 4$ và $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3} - 1$

Bước 12.2.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} - 1$

Bước 13

Hyperbol này có hai tiệm cận.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} - 1, y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} - 1$

Bước 14

Những giá trị này đại diện cho các giá trị quan trọng cho việc vẽ đồ thị và phân tích một hyperbol.

Tâm: $(- 4, - 1)$

Các đỉnh: $(- 1, - 1), (- 7, - 1)$

Tiêu điểm: $(- 4 + 2 \sqrt{3}, - 1), (- 4 - 2 \sqrt{3}, - 1)$

Tâm sai: $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Tham số tiêu: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Các đường tiệm cận: $y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} - 1$ , $y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} - 1$

Bước 15