Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{16} - \frac{{(x + 1)}^{2}}{4} = 1$

Bước 1

Rút gọn từng số hạng trong phương trình để đặt vế phải bằng $1$ . Dạng chính tắc của hình elip hoặc hyperbol yêu cầu phía vế phải của phương trình bằng $1$ .

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{16} - \frac{{(x + 1)}^{2}}{4} = 1$

Bước 2

Đây là dạng của một hyperbol. Sử dụng dạng này để xác định các giá trị được sử dụng để tìm các đỉnh và các tiệm cận của hyperbol.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Bước 3

Tương ứng các giá trị trong hyperbol này với dạng chính tắc. Biến $h$ là khoảng cách theo trục x tính từ gốc tọa độ, $k$ là khoảng cách theo trục y tính từ gốc tọa độ, $a$ .

$a = 4$

$b = 2$

$k = 3$

$h = - 1$

Bước 4

Tâm của một hyperbol có dạng $(h, k)$ . Thay vào các giá trị của $h$ và $k$ .

$(- 1, 3)$

Bước 5

Tìm $c$ , khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm của đường hyperbol bằng công thức sau.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Bước 5.2

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức.

$\sqrt{{(4)}^{2} + {(2)}^{2}}$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{16 + {(2)}^{2}}$

Bước 5.3.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{16 + 4}$

Bước 5.3.3

Cộng $16$ và $4$ .

$\sqrt{20}$

Bước 5.3.4

Viết lại $20$ ở dạng $2^{2} \cdot 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $20$ .

$\sqrt{4 (5)}$

Bước 5.3.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 5}$

Bước 5.3.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$2 \sqrt{5}$

Bước 6

Tìm các đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Có thể tìm đỉnh đầu tiên của một hyperbol bằng cách cộng $a$ vào $k$ .

$(h, k + a)$

Bước 6.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $a$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(- 1, 7)$

Bước 6.3

Có thể tìm đỉnh thứ hai của một hyperbol bằng cách trừ $a$ từ $k$ .

$(h, k - a)$

Bước 6.4

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $a$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(- 1, - 1)$

Bước 6.5

Các đỉnh của một hyperbol có dạng $(h, k \pm a)$ . Hyperbol có hai đỉnh.

$(- 1, 7), (- 1, - 1)$

Bước 7

Tìm tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Có thể tìm tiêu điểm đầu tiên của một hyperbol bằng cách cộng $c$ vào $k$ .

$(h, k + c)$

Bước 7.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $c$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(- 1, 3 + 2 \sqrt{5})$

Bước 7.3

Có thể tìm tiêu điểm thứ hai của một hyperbol bằng cách trừ $c$ từ $k$ .

$(h, k - c)$

Bước 7.4

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $c$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(- 1, 3 - 2 \sqrt{5})$

Bước 7.5

Tiêu điểm của một hyperbol có dạng $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Hyperbol có hai tiêu điểm.

$(- 1, 3 + 2 \sqrt{5}), (- 1, 3 - 2 \sqrt{5})$

Bước 8

Tìm tâm sai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tìm tâm sai bằng công thức sau.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Bước 8.2

Thay giá trị của $a$ và $b$ vào công thức.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} + {(2)}^{2}}}{4}$

Bước 8.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 2^{2}}}{4}$

Bước 8.3.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 4}}{4}$

Bước 8.3.1.3

Cộng $16$ và $4$ .

$\frac{\sqrt{20}}{4}$

Bước 8.3.1.4

Viết lại $20$ ở dạng $2^{2} \cdot 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $20$ .

$\frac{\sqrt{4 (5)}}{4}$

Bước 8.3.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}{4}$

Bước 8.3.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{2 \sqrt{5}}{4}$

Bước 8.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{2 (\sqrt{5})}{4}$

Bước 8.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{2 \cdot 2}$

Bước 8.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \sqrt{5}}{2 \cdot 2}$

Bước 8.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

Bước 9

Tìm tham số tiêu.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tìm giá trị của thông số tiêu cự hyperbol bằng cách sử dụng công thức sau.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Bước 9.2

Thay các giá trị của $b$ và $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ vào công thức.

$\frac{2^{2}}{2 \sqrt{5}}$

Bước 9.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $2^{2}$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2^{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 \sqrt{5}}$

Bước 9.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (\sqrt{5})}$

Bước 9.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \sqrt{5}}$

Bước 9.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{\sqrt{5}}$

Bước 9.3.2

Nhân $\frac{2}{\sqrt{5}}$ với $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Bước 9.3.3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.3.1

Nhân $\frac{2}{\sqrt{5}}$ với $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Bước 9.3.3.2

Nâng $\sqrt{5}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Bước 9.3.3.3

Nâng $\sqrt{5}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Bước 9.3.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Bước 9.3.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Bước 9.3.3.6

Viết lại ${\sqrt{5}}^{2}$ ở dạng $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.3.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{5}$ ở dạng $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 9.3.3.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 9.3.3.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Bước 9.3.3.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.3.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Bước 9.3.3.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{1}}$

Bước 9.3.3.6.5

Tính số mũ.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Bước 10

Các tiệm cận có dạng $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ vì hyperbol quay mặt lõm lên trên và xuống dưới.

$y = \pm 2 \cdot (x - (- 1)) + 3$

Bước 11

Rút gọn để tìm tiệm cận thứ nhất.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = 2 \cdot (x - (- 1)) + 3$

Bước 11.2

Rút gọn $2 \cdot (x - (- 1)) + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$y = 2 \cdot (x + 1) + 3$

Bước 11.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = 2 x + 2 \cdot 1 + 3$

Bước 11.2.1.3

Nhân $2$ với $1$ .

$y = 2 x + 2 + 3$

Bước 11.2.2

Cộng $2$ và $3$ .

$y = 2 x + 5$

Bước 12

Rút gọn để tìm tiệm cận thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = - 2 \cdot (x - (- 1)) + 3$

Bước 12.2

Rút gọn $- 2 \cdot (x - (- 1)) + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$y = - 2 \cdot (x + 1) + 3$

Bước 12.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = - 2 x - 2 \cdot 1 + 3$

Bước 12.2.1.3

Nhân $- 2$ với $1$ .

$y = - 2 x - 2 + 3$

Bước 12.2.2

Cộng $- 2$ và $3$ .

$y = - 2 x + 1$

Bước 13

Hyperbol này có hai tiệm cận.

$y = 2 x + 5, y = - 2 x + 1$

Bước 14

Những giá trị này đại diện cho các giá trị quan trọng cho việc vẽ đồ thị và phân tích một hyperbol.

Tâm: $(- 1, 3)$

Các đỉnh: $(- 1, 7), (- 1, - 1)$

Tiêu điểm: $(- 1, 3 + 2 \sqrt{5}), (- 1, 3 - 2 \sqrt{5})$

Tâm sai: $\frac{\sqrt{5}}{2}$

Tham số tiêu: $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Các đường tiệm cận: $y = 2 x + 5$ , $y = - 2 x + 1$

Bước 15