Giải tích sơ cấp Ví dụ

$4 x^{2} + 24 x + 16 y^{2} - 32 y - 12 = 0$

Bước 1

Cộng $12$ cho cả hai vế của phương trình.

$4 x^{2} + 24 x + 16 y^{2} - 32 y = 12$

Bước 2

Hoàn thành bình phương cho $4 x^{2} + 24 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 4$

$b = 24$

$c = 0$

Bước 2.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 2.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{24}{2 \cdot 4}$

Bước 2.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $24$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $24$ .

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 4}$

Bước 2.3.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 (4)}$

Bước 2.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 4}$

Bước 2.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{12}{4}$

Bước 2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $12$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$d = \frac{4 \cdot 3}{4}$

Bước 2.3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$d = \frac{4 \cdot 3}{4 (1)}$

Bước 2.3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 1}$

Bước 2.3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{3}{1}$

Bước 2.3.2.2.2.4

Chia $3$ cho $1$ .

$d = 3$

Bước 2.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{24^{2}}{4 \cdot 4}$

Bước 2.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1.1

Nâng $24$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot 4}$

Bước 2.4.2.1.2

Nhân $4$ với $4$ .

$e = 0 - \frac{576}{16}$

Bước 2.4.2.1.3

Chia $576$ cho $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 36$

Bước 2.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $36$ .

$e = 0 - 36$

Bước 2.4.2.2

Trừ $36$ khỏi $0$ .

$e = - 36$

Bước 2.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $4 {(x + 3)}^{2} - 36$ .

$4 {(x + 3)}^{2} - 36$

Bước 3

Thay $4 {(x + 3)}^{2} - 36$ cho $4 x^{2} + 24 x$ trong phương trình $4 x^{2} + 24 x + 16 y^{2} - 32 y = 12$ .

$4 {(x + 3)}^{2} - 36 + 16 y^{2} - 32 y = 12$

Bước 4

Di chuyển $- 36$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $36$ vào cả hai vế.

$4 {(x + 3)}^{2} + 16 y^{2} - 32 y = 12 + 36$

Bước 5

Hoàn thành bình phương cho $16 y^{2} - 32 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 16$

$b = - 32$

$c = 0$

Bước 5.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 5.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 32}{2 \cdot 16}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 32$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 32$ .

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 16}$

Bước 5.3.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 (16)}$

Bước 5.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 16}$

Bước 5.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 16}{16}$

Bước 5.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 16$ và $16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1

Đưa $16$ ra ngoài $- 16$ .

$d = \frac{16 \cdot - 1}{16}$

Bước 5.3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.2.1

Đưa $16$ ra ngoài $16$ .

$d = \frac{16 \cdot - 1}{16 (1)}$

Bước 5.3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{16 \cdot - 1}{16 \cdot 1}$

Bước 5.3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 1}{1}$

Bước 5.3.2.2.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$d = - 1$

Bước 5.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 32)}^{2}}{4 \cdot 16}$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Nâng $- 32$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{1024}{4 \cdot 16}$

Bước 5.4.2.1.2

Nhân $4$ với $16$ .

$e = 0 - \frac{1024}{64}$

Bước 5.4.2.1.3

Chia $1024$ cho $64$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Bước 5.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $16$ .

$e = 0 - 16$

Bước 5.4.2.2

Trừ $16$ khỏi $0$ .

$e = - 16$

Bước 5.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $16 {(y - 1)}^{2} - 16$ .

$16 {(y - 1)}^{2} - 16$

Bước 6

Thay $16 {(y - 1)}^{2} - 16$ cho $16 y^{2} - 32 y$ trong phương trình $4 x^{2} + 24 x + 16 y^{2} - 32 y = 12$ .

$4 {(x + 3)}^{2} + 16 {(y - 1)}^{2} - 16 = 12 + 36$

Bước 7

Di chuyển $- 16$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $16$ vào cả hai vế.

$4 {(x + 3)}^{2} + 16 {(y - 1)}^{2} = 12 + 36 + 16$

Bước 8

Rút gọn $12 + 36 + 16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Cộng $12$ và $36$ .

$4 {(x + 3)}^{2} + 16 {(y - 1)}^{2} = 48 + 16$

Bước 8.2

Cộng $48$ và $16$ .

$4 {(x + 3)}^{2} + 16 {(y - 1)}^{2} = 64$

Bước 9

Chia mỗi số hạng cho $64$ để làm cho vế phải bằng một.

$\frac{4 {(x + 3)}^{2}}{64} + \frac{16 {(y - 1)}^{2}}{64} = \frac{64}{64}$

Bước 10

Rút gọn từng số hạng trong phương trình để đặt vế phải bằng $1$ . Dạng chính tắc của hình elip hoặc hyperbol yêu cầu phía vế phải của phương trình bằng $1$ .

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{4} = 1$