Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\log (x - 2) + \log (9 - x) < 1$

Bước 1

Quy đổi bất đẳng thức thành một đẳng thức.

$\log (x - 2) + \log (9 - x) = 1$

Bước 2

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x - 2) (9 - x)) = 1$

Bước 2.1.2

Khai triển $(x - 2) (9 - x)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\log (x (9 - x) - 2 (9 - x)) = 1$

Bước 2.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\log (x \cdot 9 + x (- x) - 2 (9 - x)) = 1$

Bước 2.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\log (x \cdot 9 + x (- x) - 2 \cdot 9 - 2 (- x)) = 1$

Bước 2.1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1.1

Di chuyển $9$ sang phía bên trái của $x$ .

$\log (9 \cdot x + x (- x) - 2 \cdot 9 - 2 (- x)) = 1$

Bước 2.1.3.1.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\log (9 x - x \cdot x - 2 \cdot 9 - 2 (- x)) = 1$

Bước 2.1.3.1.3

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1.3.1

Di chuyển $x$ .

$\log (9 x - (x \cdot x) - 2 \cdot 9 - 2 (- x)) = 1$

Bước 2.1.3.1.3.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\log (9 x - x^{2} - 2 \cdot 9 - 2 (- x)) = 1$

Bước 2.1.3.1.4

Nhân $- 2$ với $9$ .

$\log (9 x - x^{2} - 18 - 2 (- x)) = 1$

Bước 2.1.3.1.5

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$\log (9 x - x^{2} - 18 + 2 x) = 1$

Bước 2.1.3.2

Cộng $9 x$ và $2 x$ .

$\log (11 x - x^{2} - 18) = 1$

Bước 2.2

Viết lại $\log (11 x - x^{2} - 18) = 1$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$10^{1} = 11 x - x^{2} - 18$

Bước 2.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $11 x - x^{2} - 18 = 10^{1}$ .

$11 x - x^{2} - 18 = 10$

Bước 2.3.2

Trừ $10$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$11 x - x^{2} - 18 - 10 = 0$

Bước 2.3.3

Trừ $10$ khỏi $- 18$ .

$11 x - x^{2} - 28 = 0$

Bước 2.3.4

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $11 x - x^{2} - 28$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1.1

Sắp xếp lại $11 x$ và $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 11 x - 28 = 0$

Bước 2.3.4.1.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 11 x - 28 = 0$

Bước 2.3.4.1.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $11 x$ .

$- (x^{2}) - (- 11 x) - 28 = 0$

Bước 2.3.4.1.4

Viết lại $- 28$ ở dạng $- 1 (28)$ .

$- (x^{2}) - (- 11 x) - 1 \cdot 28 = 0$

Bước 2.3.4.1.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x^{2}) - (- 11 x)$ .

$- (x^{2} - 11 x) - 1 \cdot 28 = 0$

Bước 2.3.4.1.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x^{2} - 11 x) - 1 (28)$ .

$- (x^{2} - 11 x + 28) = 0$

Bước 2.3.4.2

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.2.1

Phân tích $x^{2} - 11 x + 28$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.2.1.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $28$ và tổng của chúng là $- 11$ .

$- 7, - 4$

Bước 2.3.4.2.1.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$- ((x - 7) (x - 4)) = 0$

Bước 2.3.4.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$- (x - 7) (x - 4) = 0$

Bước 2.3.5

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x - 7 = 0$

$x - 4 = 0$

Bước 2.3.6

Đặt $x - 7$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1

Đặt $x - 7$ bằng với $0$ .

$x - 7 = 0$

Bước 2.3.6.2

Cộng $7$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 7$

Bước 2.3.7

Đặt $x - 4$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Đặt $x - 4$ bằng với $0$ .

$x - 4 = 0$

Bước 2.3.7.2

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 4$

Bước 2.3.8

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $- (x - 7) (x - 4) = 0$ đúng.

$x = 7, 4$

Bước 3

Tìm tập xác định của $\log (11 x - x^{2} - 18) - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt giá trị đối số trong $\log (11 x - x^{2} - 18)$ lớn hơn $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$11 x - x^{2} - 18 > 0$

Bước 3.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Quy đổi bất đẳng thức sang một phương trình.

$11 x - x^{2} - 18 = 0$

Bước 3.2.2

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $11 x - x^{2} - 18$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Sắp xếp lại $11 x$ và $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 11 x - 18 = 0$

Bước 3.2.2.1.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 11 x - 18 = 0$

Bước 3.2.2.1.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $11 x$ .

$- (x^{2}) - (- 11 x) - 18 = 0$

Bước 3.2.2.1.4

Viết lại $- 18$ ở dạng $- 1 (18)$ .

$- (x^{2}) - (- 11 x) - 1 \cdot 18 = 0$

Bước 3.2.2.1.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x^{2}) - (- 11 x)$ .

$- (x^{2} - 11 x) - 1 \cdot 18 = 0$

Bước 3.2.2.1.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x^{2} - 11 x) - 1 (18)$ .

$- (x^{2} - 11 x + 18) = 0$

Bước 3.2.2.2

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.2.1

Phân tích $x^{2} - 11 x + 18$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.2.1.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $18$ và tổng của chúng là $- 11$ .

$- 9, - 2$

Bước 3.2.2.2.1.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$- ((x - 9) (x - 2)) = 0$

Bước 3.2.2.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$- (x - 9) (x - 2) = 0$

Bước 3.2.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x - 9 = 0$

$x - 2 = 0$

Bước 3.2.4

Đặt $x - 9$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Đặt $x - 9$ bằng với $0$ .

$x - 9 = 0$

Bước 3.2.4.2

Cộng $9$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 9$

Bước 3.2.5

Đặt $x - 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.1

Đặt $x - 2$ bằng với $0$ .

$x - 2 = 0$

Bước 3.2.5.2

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Bước 3.2.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $- (x - 9) (x - 2) = 0$ đúng.

$x = 9, 2$

Bước 3.2.7

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < 2$

$2 < x < 9$

$x > 9$

Bước 3.2.8

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.8.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < 2$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.8.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < 2$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0$

Bước 3.2.8.1.2

Thay thế $x$ bằng $0$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$11 (0) - {(0)}^{2} - 18 > 0$

Bước 3.2.8.1.3

Vế trái $- 18$ không lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 3.2.8.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $2 < x < 9$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.8.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $2 < x < 9$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 6$

Bước 3.2.8.2.2

Thay thế $x$ bằng $6$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$11 (6) - {(6)}^{2} - 18 > 0$

Bước 3.2.8.2.3

Vế trái $12$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 3.2.8.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 9$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.8.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 9$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 12$

Bước 3.2.8.3.2

Thay thế $x$ bằng $12$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$11 (12) - {(12)}^{2} - 18 > 0$

Bước 3.2.8.3.3

Vế trái $- 30$ không lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 3.2.8.4

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < 2$ Sai

$2 < x < 9$ Đúng

$x > 9$ Sai

$x < 2$ Sai

$2 < x < 9$ Đúng

$x > 9$ Sai

Bước 3.2.9

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$2 < x < 9$

Bước 3.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$(2, 9)$

Bước 4

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < 2$

$2 < x < 4$

$4 < x < 7$

$7 < x < 9$

$x > 9$

Bước 5

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < 2$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < 2$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0$

Bước 5.1.2

Thay thế $x$ bằng $0$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\log ((0) - 2) + \log (9 - (0)) < 1$

Bước 5.1.3

Xác định xem bất đẳng thức có đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Không thể giải phương trình vì nó không xác định.

$Không xác định$

Bước 5.1.3.2

Vế trái không có đáp án, điều đó có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 5.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $2 < x < 4$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $2 < x < 4$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 3$

Bước 5.2.2

Thay thế $x$ bằng $3$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\log ((3) - 2) + \log (9 - (3)) < 1$

Bước 5.2.3

Vế trái $0.77815125$ nhỏ hơn vế phải $1$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 5.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $4 < x < 7$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $4 < x < 7$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 6$

Bước 5.3.2

Thay thế $x$ bằng $6$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\log ((6) - 2) + \log (9 - (6)) < 1$

Bước 5.3.3

Vế trái $1.07918124$ không nhỏ hơn vế phải $1$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 5.4

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $7 < x < 9$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Chọn một giá trị trên khoảng $7 < x < 9$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 8$

Bước 5.4.2

Thay thế $x$ bằng $8$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\log ((8) - 2) + \log (9 - (8)) < 1$

Bước 5.4.3

Vế trái $0.77815125$ nhỏ hơn vế phải $1$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 5.5

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 9$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 9$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 12$

Bước 5.5.2

Thay thế $x$ bằng $12$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\log ((12) - 2) + \log (9 - (12)) < 1$

Bước 5.5.3

Xác định xem bất đẳng thức có đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.1

Không thể giải phương trình vì nó không xác định.

$Không xác định$

Bước 5.5.3.2

Vế trái không có đáp án, điều đó có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 5.6

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < 2$ Sai

$2 < x < 4$ Đúng

$4 < x < 7$ Sai

$7 < x < 9$ Đúng

$x > 9$ Sai

$x < 2$ Sai

$2 < x < 4$ Đúng

$4 < x < 7$ Sai

$7 < x < 9$ Đúng

$x > 9$ Sai

Bước 6

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$2 < x < 4$ hoặc $7 < x < 9$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng bất đẳng thức:

$2 < x < 4 or 7 < x < 9$

Ký hiệu khoảng:

$(2, 4) \cup (7, 9)$

Bước 8