Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\sec^{2} (x) - 2 \tan (x) = 4$

Bước 1

Thay thế $\sec^{2} (x)$ bằng $1 + \tan^{2} (x)$ dựa trên đẳng thức $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(1 + \tan^{2} (x)) - 2 \tan (x) = 4$

Bước 2

Sắp xếp lại đa thức.

$\tan^{2} (x) - 2 \tan (x) + 1 = 4$

Bước 3

Thay $u$ bằng $\tan (x)$ .

${(u)}^{2} - 2 u + 1 = 4$

Bước 4

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$u^{2} - 2 u + 1 - 4 = 0$

Bước 5

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$u^{2} - 2 u - 3 = 0$

Bước 6

Phân tích $u^{2} - 2 u - 3$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 3$ và tổng của chúng là $- 2$ .

$- 3, 1$

Bước 6.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$(u - 3) (u + 1) = 0$

Bước 7

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$u - 3 = 0$

$u + 1 = 0$

Bước 8

Đặt $u - 3$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Đặt $u - 3$ bằng với $0$ .

$u - 3 = 0$

Bước 8.2

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$u = 3$

Bước 9

Đặt $u + 1$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Đặt $u + 1$ bằng với $0$ .

$u + 1 = 0$

Bước 9.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$u = - 1$

Bước 10

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(u - 3) (u + 1) = 0$ đúng.

$u = 3, - 1$

Bước 11

Thay $\tan (x)$ bằng $u$ .

$\tan (x) = 3, - 1$

Bước 12

Lập từng đáp án để giải tìm $x$ .

$\tan (x) = 3$

$\tan (x) = - 1$

Bước 13

Giải tìm $x$ trong $\tan (x) = 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm tang.

$x = \arctan (3)$

Bước 13.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Tính $\arctan (3)$ .

$x = 1.24904577$

Bước 13.3

Hàm tang dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy cộng góc tham chiếu từ $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = (3.14159265) + 1.24904577$

Bước 13.4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x = 3.14159265 + 1.24904577$

Bước 13.4.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x = (3.14159265) + 1.24904577$

Bước 13.4.3

Cộng $3.14159265$ và $1.24904577$ .

$x = 4.39063842$

Bước 13.5

Tìm chu kỳ của $\tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Bước 13.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{π}{| 1 |}$

Bước 13.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{π}{1}$

Bước 13.5.4

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 13.6

Chu kỳ của hàm $\tan (x)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$x = 1.24904577 + π n, 4.39063842 + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 14

Giải tìm $x$ trong $\tan (x) = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm tang.

$x = \arctan (- 1)$

Bước 14.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Giá trị chính xác của $\arctan (- 1)$ là $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Bước 14.3

Hàm tang âm trong góc phần tư thứ hai và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Bước 14.4

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.1

Cộng $2 π$ vào $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Bước 14.4.2

Góc tìm được $\frac{3 π}{4}$ dương và có cùng cạnh cuối với $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Bước 14.5

Tìm chu kỳ của $\tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Bước 14.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{π}{| 1 |}$

Bước 14.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{π}{1}$

Bước 14.5.4

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 14.6

Cộng $π$ vào mọi góc âm để có được các góc dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.6.1

Cộng $π$ vào $- \frac{π}{4}$ để tìm góc dương.

$- \frac{π}{4} + π$

Bước 14.6.2

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Bước 14.6.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.6.3.1

Kết hợp $π$ và $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Bước 14.6.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Bước 14.6.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.6.4.1

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Bước 14.6.4.2

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Bước 14.6.5

Liệt kê các góc mới.

$x = \frac{3 π}{4}$

Bước 14.7

Chu kỳ của hàm $\tan (x)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 15

Liệt kê tất cả các đáp án.

$x = 1.24904577 + π n, 4.39063842 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 16

Hợp nhất các đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Hợp nhất $1.24904577 + π n$ và $4.39063842 + π n$ để $1.24904577 + π n$ .

$x = 1.24904577 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 16.2

Hợp nhất $\frac{3 π}{4} + π n$ và $\frac{3 π}{4} + π n$ để $\frac{3 π}{4} + π n$ .

$x = 1.24904577 + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$