Giải tích sơ cấp Ví dụ

$10 \sin^{2} (x) = 10 + 5 \cos (x)$

Bước 1

Chuyển tất cả các biểu thức sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Trừ $10$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$10 \sin^{2} (x) - 10 = 5 \cos (x)$

Bước 1.2

Trừ $5 \cos (x)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$10 \sin^{2} (x) - 10 - 5 \cos (x) = 0$

Bước 2

Rút gọn $10 \sin^{2} (x) - 10 - 5 \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sắp xếp lại $10 \sin^{2} (x)$ và $- 10$ .

$- 10 + 10 \sin^{2} (x) - 5 \cos (x) = 0$

Bước 2.2

Đưa $- 10$ ra ngoài $- 10$ .

$- 10 (1) + 10 \sin^{2} (x) - 5 \cos (x) = 0$

Bước 2.3

Đưa $- 10$ ra ngoài $10 \sin^{2} (x)$ .

$- 10 (1) - 10 (- \sin^{2} (x)) - 5 \cos (x) = 0$

Bước 2.4

Đưa $- 10$ ra ngoài $- 10 (1) - 10 (- \sin^{2} (x))$ .

$- 10 (1 - \sin^{2} (x)) - 5 \cos (x) = 0$

Bước 2.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$- 10 \cos^{2} (x) - 5 \cos (x) = 0$

Bước 3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Giả sử $u = \cos (x)$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $\cos (x)$ .

$- 10 u^{2} - 5 u = 0$

Bước 3.1.2

Đưa $5 u$ ra ngoài $- 10 u^{2} - 5 u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Đưa $5 u$ ra ngoài $- 10 u^{2}$ .

$5 u (- 2 u) - 5 u = 0$

Bước 3.1.2.2

Đưa $5 u$ ra ngoài $- 5 u$ .

$5 u (- 2 u) + 5 u (- 1) = 0$

Bước 3.1.2.3

Đưa $5 u$ ra ngoài $5 u (- 2 u) + 5 u (- 1)$ .

$5 u (- 2 u - 1) = 0$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\cos (x)$ .

$5 \cos (x) (- 2 \cos (x) - 1) = 0$

Bước 3.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$\cos (x) = 0$

$- 2 \cos (x) - 1 = 0$

Bước 3.3

Đặt $\cos (x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Đặt $\cos (x)$ bằng với $0$ .

$\cos (x) = 0$

Bước 3.3.2

Giải $\cos (x) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (0)$

Bước 3.3.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.2.1

Giá trị chính xác của $\arccos (0)$ là $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Bước 3.3.2.3

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Bước 3.3.2.4

Rút gọn $2 π - \frac{π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.4.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 3.3.2.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.4.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 3.3.2.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 3.3.2.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.4.3.1

Nhân $2$ với $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Bước 3.3.2.4.3.2

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Bước 3.3.2.5

Tìm chu kỳ của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 3.3.2.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 3.3.2.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 3.3.2.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 3.3.2.6

Chu kỳ của hàm $\cos (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 3.4

Đặt $- 2 \cos (x) - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Đặt $- 2 \cos (x) - 1$ bằng với $0$ .

$- 2 \cos (x) - 1 = 0$

Bước 3.4.2

Giải $- 2 \cos (x) - 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$- 2 \cos (x) = 1$

Bước 3.4.2.2

Chia mỗi số hạng trong $- 2 \cos (x) = 1$ cho $- 2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- 2 \cos (x) = 1$ cho $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Bước 3.4.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Bước 3.4.2.2.2.1.2

Chia $\cos (x)$ cho $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{- 2}$

Bước 3.4.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Bước 3.4.2.3

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Bước 3.4.2.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.4.1

Giá trị chính xác của $\arccos (- \frac{1}{2})$ là $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Bước 3.4.2.5

Hàm cosin âm trong góc phần tư thứ hai và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu từ $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Bước 3.4.2.6

Rút gọn $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.6.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Bước 3.4.2.6.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.6.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Bước 3.4.2.6.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Bước 3.4.2.6.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.6.3.1

Nhân $3$ với $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Bước 3.4.2.6.3.2

Trừ $2 π$ khỏi $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Bước 3.4.2.7

Tìm chu kỳ của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.7.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 3.4.2.7.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 3.4.2.7.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 3.4.2.7.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 3.4.2.8

Chu kỳ của hàm $\cos (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 3.5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $5 \cos (x) (- 2 \cos (x) - 1) = 0$ đúng.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 4

Hợp nhất $\frac{π}{2} + 2 π n$ và $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ để $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$