Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\csc^{2} (x) = 6 \cot (x) + 8$

Bước 1

Thay thế $\csc^{2} (x)$ bằng $\cot^{2} (x) + 1$ dựa trên đẳng thức $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$\cot^{2} (x) + 1 = 6 \cot (x) + 8$

Bước 2

Thay $u$ bằng $\cot (x)$ .

${(u)}^{2} + 1 = 6 (u) + 8$

Bước 3

Trừ $6 u$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$u^{2} + 1 - 6 u = 8$

Bước 4

Trừ $8$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$u^{2} + 1 - 6 u - 8 = 0$

Bước 5

Trừ $8$ khỏi $1$ .

$u^{2} - 6 u - 7 = 0$

Bước 6

Phân tích $u^{2} - 6 u - 7$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 7$ và tổng của chúng là $- 6$ .

$- 7, 1$

Bước 6.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$(u - 7) (u + 1) = 0$

Bước 7

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$u - 7 = 0$

$u + 1 = 0$

Bước 8

Đặt $u - 7$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Đặt $u - 7$ bằng với $0$ .

$u - 7 = 0$

Bước 8.2

Cộng $7$ cho cả hai vế của phương trình.

$u = 7$

Bước 9

Đặt $u + 1$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Đặt $u + 1$ bằng với $0$ .

$u + 1 = 0$

Bước 9.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$u = - 1$

Bước 10

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(u - 7) (u + 1) = 0$ đúng.

$u = 7, - 1$

Bước 11

Thay $\cot (x)$ bằng $u$ .

$\cot (x) = 7, - 1$

Bước 12

Lập từng đáp án để giải tìm $x$ .

$\cot (x) = 7$

$\cot (x) = - 1$

Bước 13

Giải tìm $x$ trong $\cot (x) = 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Lấy nghịch đảo cotang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm cotang.

$x = arccot (7)$

Bước 13.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Tính $arccot (7)$ .

$x = 0.14189705$

Bước 13.3

Hàm cotang dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy thêm góc tham chiếu từ $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = (3.14159265) + 0.14189705$

Bước 13.4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x = 3.14159265 + 0.14189705$

Bước 13.4.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x = (3.14159265) + 0.14189705$

Bước 13.4.3

Cộng $3.14159265$ và $0.14189705$ .

$x = 3.2834897$

Bước 13.5

Tìm chu kỳ của $\cot (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Bước 13.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{π}{| 1 |}$

Bước 13.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{π}{1}$

Bước 13.5.4

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 13.6

Chu kỳ của hàm $\cot (x)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$x = 0.14189705 + π n, 3.2834897 + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 14

Giải tìm $x$ trong $\cot (x) = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Lấy nghịch đảo cotang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm cotang.

$x = arccot (- 1)$

Bước 14.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Giá trị chính xác của $arccot (- 1)$ là $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Bước 14.3

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{3 π}{4} - π$

Bước 14.4

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.1

Cộng $2 π$ vào $\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

Bước 14.4.2

Góc tìm được $\frac{7 π}{4}$ dương và có cùng cạnh cuối với $\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Bước 14.5

Tìm chu kỳ của $\cot (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Bước 14.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{π}{| 1 |}$

Bước 14.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{π}{1}$

Bước 14.5.4

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 14.6

Chu kỳ của hàm $\cot (x)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 15

Liệt kê tất cả các đáp án.

$x = 0.14189705 + π n, 3.2834897 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 16

Hợp nhất các đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Hợp nhất $0.14189705 + π n$ và $3.2834897 + π n$ để $0.14189705 + π n$ .

$x = 0.14189705 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 16.2

Hợp nhất $\frac{3 π}{4} + π n$ và $\frac{7 π}{4} + π n$ để $\frac{3 π}{4} + π n$ .

$x = 0.14189705 + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$