Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\sin (\frac{x}{2} - \frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$

Bước 1

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \arcsin (\frac{1}{2})$

Bước 2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (\frac{1}{2})$ là $\frac{π}{6}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \frac{π}{6}$

Bước 3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $x$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Cộng $\frac{π}{4}$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{x}{2} = \frac{π}{6} + \frac{π}{4}$

Bước 3.2

Để viết $\frac{π}{6}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

Bước 3.3

Để viết $\frac{π}{4}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Bước 3.4

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $12$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Nhân $\frac{π}{6}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Bước 3.4.2

Nhân $6$ với $2$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 2}{12} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Bước 3.4.3

Nhân $\frac{π}{4}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 2}{12} + \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Bước 3.4.4

Nhân $4$ với $3$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 2}{12} + \frac{π \cdot 3}{12}$

Bước 3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 2 + π \cdot 3}{12}$

Bước 3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 \cdot π + π \cdot 3}{12}$

Bước 3.6.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 π + 3 \cdot π}{12}$

Bước 3.6.3

Cộng $2 π$ và $3 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{12}$

Bước 4

Nhân cả hai vế của phương trình với $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{5 π}{12}$

Bước 5

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{5 π}{12}$

Bước 5.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$x = 2 \frac{5 π}{12}$

Bước 5.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $12$ .

$x = 2 \frac{5 π}{2 (6)}$

Bước 5.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = 2 \frac{5 π}{2 \cdot 6}$

Bước 5.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$x = \frac{5 π}{6}$

Bước 6

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = π - \frac{π}{6}$

Bước 7

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn $π - \frac{π}{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{6}{6}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Bước 7.1.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.2.1

Kết hợp $π$ và $\frac{6}{6}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Bước 7.1.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Bước 7.1.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.3.1

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $π$ .

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Bước 7.1.3.2

Trừ $π$ khỏi $6 π$ .

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{6}$

Bước 7.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $x$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Cộng $\frac{π}{4}$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{6} + \frac{π}{4}$

Bước 7.2.2

Để viết $\frac{5 π}{6}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

Bước 7.2.3

Để viết $\frac{π}{4}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Bước 7.2.4

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $12$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.1

Nhân $\frac{5 π}{6}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Bước 7.2.4.2

Nhân $6$ với $2$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 2}{12} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Bước 7.2.4.3

Nhân $\frac{π}{4}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 2}{12} + \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Bước 7.2.4.4

Nhân $4$ với $3$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 2}{12} + \frac{π \cdot 3}{12}$

Bước 7.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 2 + π \cdot 3}{12}$

Bước 7.2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.6.1

Nhân $2$ với $5$ .

$\frac{x}{2} = \frac{10 π + π \cdot 3}{12}$

Bước 7.2.6.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{10 π + 3 \cdot π}{12}$

Bước 7.2.6.3

Cộng $10 π$ và $3 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{13 π}{12}$

Bước 7.3

Nhân cả hai vế của phương trình với $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{13 π}{12}$

Bước 7.4

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{13 π}{12}$

Bước 7.4.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$x = 2 \frac{13 π}{12}$

Bước 7.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $12$ .

$x = 2 \frac{13 π}{2 (6)}$

Bước 7.4.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = 2 \frac{13 π}{2 \cdot 6}$

Bước 7.4.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$x = \frac{13 π}{6}$

Bước 8

Tìm chu kỳ của $\sin (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 8.2

Thay thế $b$ với $\frac{1}{2}$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Bước 8.3

$\frac{1}{2}$ xấp xỉ $0.5$ , là một số dương, nên ta loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Bước 8.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$2 π \cdot 2$

Bước 8.5

Nhân $2$ với $2$ .

$4 π$

Bước 9

Chu kỳ của hàm $\sin (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$ là $4 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $4 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{5 π}{6} + 4 π n, \frac{13 π}{6} + 4 π n$ , cho mọi số nguyên $n$