Giải tích sơ cấp Ví dụ

$1 + \frac{2}{x + 1} \leq \frac{2}{x}$

Bước 1

Trừ $\frac{2}{x}$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$1 + \frac{2}{x + 1} - \frac{2}{x} \leq 0$

Bước 2

Rút gọn $1 + \frac{2}{x + 1} - \frac{2}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{x + 1}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} - \frac{2}{x} \leq 0$

Bước 2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x + 1 + 2}{x + 1} - \frac{2}{x} \leq 0$

Bước 2.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{x + 3}{x + 1} - \frac{2}{x} \leq 0$

Bước 2.4

Để viết $\frac{x + 3}{x + 1}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x + 3}{x + 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2}{x} \leq 0$

Bước 2.5

Để viết $- \frac{2}{x}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x + 3}{x + 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2}{x} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} \leq 0$

Bước 2.6

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $(x + 1) x$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Nhân $\frac{x + 3}{x + 1}$ với $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x + 3) x}{(x + 1) x} - \frac{2}{x} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} \leq 0$

Bước 2.6.2

Nhân $\frac{2}{x}$ với $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{(x + 3) x}{(x + 1) x} - \frac{2 (x + 1)}{x (x + 1)} \leq 0$

Bước 2.6.3

Sắp xếp lại các thừa số của $(x + 1) x$ .

$\frac{(x + 3) x}{x (x + 1)} - \frac{2 (x + 1)}{x (x + 1)} \leq 0$

Bước 2.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{(x + 3) x - 2 (x + 1)}{x (x + 1)} \leq 0$

Bước 2.8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x \cdot x + 3 x - 2 (x + 1)}{x (x + 1)} \leq 0$

Bước 2.8.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x - 2 (x + 1)}{x (x + 1)} \leq 0$

Bước 2.8.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x^{2} + 3 x - 2 x - 2 \cdot 1}{x (x + 1)} \leq 0$

Bước 2.8.4

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{x^{2} + 3 x - 2 x - 2}{x (x + 1)} \leq 0$

Bước 2.8.5

Trừ $2 x$ khỏi $3 x$ .

$\frac{x^{2} + x - 2}{x (x + 1)} \leq 0$

Bước 2.8.6

Phân tích $x^{2} + x - 2$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.6.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 2$ và tổng của chúng là $1$ .

$- 1, 2$

Bước 2.8.6.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{x (x + 1)} \leq 0$

Bước 3

Tìm tất cả các giá trị mà tại đó biểu thức chuyển từ âm sang dương bằng cách đặt từng thừa số bằng $0$ và giải.

$x = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Bước 4

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 1$

Bước 5

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 2$

Bước 6

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 1$

Bước 7

Giải tìm từng thừa số để tìm các giá trị mà giá trị tuyệt đối của biểu thức đi từ âm sang dương.

$x = 0$

$x = 1$

$x = - 2$

$x = - 1$

Bước 8

Hợp nhất các đáp án.

$x = 0, 1, - 2, - 1$

Bước 9

Tìm tập xác định của $\frac{(x - 1) (x + 2)}{x (x + 1)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Đặt mẫu số trong $\frac{(x - 1) (x + 2)}{x (x + 1)}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x (x + 1) = 0$

Bước 9.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

Bước 9.2.2

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Bước 9.2.3

Đặt $x + 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.1

Đặt $x + 1$ bằng với $0$ .

$x + 1 = 0$

Bước 9.2.3.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 1$

Bước 9.2.4

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $x (x + 1) = 0$ đúng.

$x = 0, - 1$

Bước 9.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Bước 10

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < - 2$

$- 2 < x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Bước 11

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < - 2$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < - 2$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 4$

Bước 11.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$1 + \frac{2}{(- 4) + 1} \leq \frac{2}{- 4}$

Bước 11.1.3

Vế trái $0.\overline{3}$ lớn hơn vế phải $- 0.5$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 11.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 2 < x < - 1$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 2 < x < - 1$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 1.5$

Bước 11.2.2

Thay thế $x$ bằng $- 1.5$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$1 + \frac{2}{(- 1.5) + 1} \leq \frac{2}{- 1.5}$

Bước 11.2.3

Vế trái $- 3$ nhỏ hơn vế phải $- 1.\overline{3}$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 11.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 1 < x < 0$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 1 < x < 0$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 0.5$

Bước 11.3.2

Thay thế $x$ bằng $- 0.5$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$1 + \frac{2}{(- 0.5) + 1} \leq \frac{2}{- 0.5}$

Bước 11.3.3

Vế trái $5$ lớn hơn vế phải $- 4$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 11.4

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $0 < x < 1$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.1

Chọn một giá trị trên khoảng $0 < x < 1$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0.5$

Bước 11.4.2

Thay thế $x$ bằng $0.5$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$1 + \frac{2}{(0.5) + 1} \leq \frac{2}{0.5}$

Bước 11.4.3

Vế trái $2.\overline{3}$ nhỏ hơn vế phải $4$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 11.5

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 1$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 1$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 4$

Bước 11.5.2

Thay thế $x$ bằng $4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$1 + \frac{2}{(4) + 1} \leq \frac{2}{4}$

Bước 11.5.3

Vế trái $1.4$ lớn hơn vế phải $0.5$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 11.6

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < - 2$ Sai

$- 2 < x < - 1$ Đúng

$- 1 < x < 0$ Sai

$0 < x < 1$ Đúng

$x > 1$ Sai

$x < - 2$ Sai

$- 2 < x < - 1$ Đúng

$- 1 < x < 0$ Sai

$0 < x < 1$ Đúng

$x > 1$ Sai

Bước 12

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$- 2 \leq x < - 1$ hoặc $0 < x \leq 1$

Bước 13

Quy đổi bất đẳng thức sang ký hiệu khoảng.

$[- 2, - 1) \cup (0, 1]$

Bước 14