Giải tích sơ cấp Ví dụ

$x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + 12$

Bước 1

Nếu một hàm đa thức có các hệ số là số nguyên, thì mọi điểm zero hữu tỉ sẽ có dạng $\frac{p}{q}$ trong đó $p$ là một thừa số của hằng số và $q$ là một thừa số của hệ số cao nhất.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1$

Bước 2

Tìm tất cả các tổ hợp của $\pm \frac{p}{q}$ . Đây là những nghiệm có thể có của các hàm số đa thức.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

Bước 3

Thay từng nghiệm có thể có vào đa thức để tìm các nghiệm thực. Rút gọn để kiểm tra xem giá trị có phải là $0$ , có nghĩa là nó là một nghiệm.

${(3)}^{3} - 5 {(3)}^{2} + 2 (3) + 12$

Bước 4

Rút gọn biểu thức. Trong trường hợp này, biểu thức bằng $0$ vì vậy $x = 3$ là một căn của đa thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$27 - 5 {(3)}^{2} + 2 (3) + 12$

Bước 4.1.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$27 - 5 \cdot 9 + 2 (3) + 12$

Bước 4.1.3

Nhân $- 5$ với $9$ .

$27 - 45 + 2 (3) + 12$

Bước 4.1.4

Nhân $2$ với $3$ .

$27 - 45 + 6 + 12$

Bước 4.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Trừ $45$ khỏi $27$ .

$- 18 + 6 + 12$

Bước 4.2.2

Cộng $- 18$ và $6$ .

$- 12 + 12$

Bước 4.2.3

Cộng $- 12$ và $12$ .

$0$

Bước 5

Vì $3$ là một nghiệm đã biết, chia đa thức cho $x - 3$ để tìm đa thức thương. Đa thức này sau đó có thể được sử dụng để tìm các nghiệm còn lại.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + 12}{x - 3}$

Bước 6

Tiếp theo, tìm các nghiệm của đa thức còn lại. Bậc của đa thức đã bị giảm xuống $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt các số đại diện cho số chia và số bị chia vào cấu hình giống như một phép chia.

$3$	$1$	$- 5$	$2$	$12$

Bước 6.2

Số đầu tiên trong số bị chia $(1)$ được đặt vào vị trí đầu tiên của phần kết quả (bên dưới đường thẳng ngang).

$3$	$1$	$- 5$	$2$	$12$

	$1$

Bước 6.3

Nhân số mới nhất trong kết quả $(1)$ với số chia $(3)$ và đặt kết quả của $(3)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 5)$ .

$3$	$1$	$- 5$	$2$	$12$
		$3$
	$1$

Bước 6.4

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$3$	$1$	$- 5$	$2$	$12$
		$3$
	$1$	$- 2$

Bước 6.5

Nhân số mới nhất trong kết quả $(- 2)$ với số chia $(3)$ và đặt kết quả của $(- 6)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(2)$ .

$3$	$1$	$- 5$	$2$	$12$
		$3$	$- 6$
	$1$	$- 2$

Bước 6.6

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$3$	$1$	$- 5$	$2$	$12$
		$3$	$- 6$
	$1$	$- 2$	$- 4$

Bước 6.7

Nhân số mới nhất trong kết quả $(- 4)$ với số chia $(3)$ và đặt kết quả của $(- 12)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(12)$ .

$3$	$1$	$- 5$	$2$	$12$
		$3$	$- 6$	$- 12$
	$1$	$- 2$	$- 4$

Bước 6.8

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$3$	$1$	$- 5$	$2$	$12$
		$3$	$- 6$	$- 12$
	$1$	$- 2$	$- 4$	$0$

Bước 6.9

Tất cả các số trừ số cuối cùng trở thành hệ số của đa thức thương. Giá trị cuối cùng trong dòng kết quả là số dư.

$1 x^{2} + - 2 x - 4$

Bước 6.10

Rút gọn đa thức thương.

$x^{2} - 2 x - 4$

Bước 7

Giải phương trình để tìm các nghiệm còn lại.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 7.2

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = - 2$ , và $c = - 4$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.3.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.3.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.3.1.3

Cộng $4$ và $16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.3.1.4

Viết lại $20$ ở dạng $2^{2} \cdot 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.3.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.3.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.3.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Bước 7.3.3

Rút gọn $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Bước 7.4

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.4.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.4.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.4.1.3

Cộng $4$ và $16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.4.1.4

Viết lại $20$ ở dạng $2^{2} \cdot 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.4.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.4.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.4.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Bước 7.4.3

Rút gọn $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Bước 7.4.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$x = 1 + \sqrt{5}$

Bước 7.5

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.5.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.5.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.5.1.3

Cộng $4$ và $16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.5.1.4

Viết lại $20$ ở dạng $2^{2} \cdot 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.5.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.5.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Bước 7.5.3

Rút gọn $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Bước 7.5.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$x = 1 - \sqrt{5}$

Bước 7.6

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

Bước 8

Đa thức có thể được viết dưới dạng một tập hợp các thừa số tuyến tính.

$(x - 3) (x - 1 - \sqrt{5}) (x - 1 + \sqrt{5})$

Bước 9

Đây là các nghiệm (các điểm zero) của đa thức $x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + 12$ .

$x = 3, 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

Bước 10

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$x = 3, 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

Dạng thập phân:

$x = 3, 3.23606797 \dots, - 1.23606797 \dots$

Bước 11