Giải tích sơ cấp Ví dụ

$x^{3} + 7 x^{2} - 16 x + 18$

Bước 1

Nếu một hàm đa thức có các hệ số là số nguyên, thì mọi điểm zero hữu tỉ sẽ có dạng $\frac{p}{q}$ trong đó $p$ là một thừa số của hằng số và $q$ là một thừa số của hệ số cao nhất.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18$

$q = \pm 1$

Bước 2

Tìm tất cả các tổ hợp của $\pm \frac{p}{q}$ . Đây là những nghiệm có thể có của các hàm số đa thức.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18$

Bước 3

Thay từng nghiệm có thể có vào đa thức để tìm các nghiệm thực. Rút gọn để kiểm tra xem giá trị có phải là $0$ , có nghĩa là nó là một nghiệm.

${(- 9)}^{3} + 7 {(- 9)}^{2} - 16 \cdot - 9 + 18$

Bước 4

Rút gọn biểu thức. Trong trường hợp này, biểu thức bằng $0$ vì vậy $x = - 9$ là một căn của đa thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Nâng $- 9$ lên lũy thừa $3$ .

$- 729 + 7 {(- 9)}^{2} - 16 \cdot - 9 + 18$

Bước 4.1.2

Nâng $- 9$ lên lũy thừa $2$ .

$- 729 + 7 \cdot 81 - 16 \cdot - 9 + 18$

Bước 4.1.3

Nhân $7$ với $81$ .

$- 729 + 567 - 16 \cdot - 9 + 18$

Bước 4.1.4

Nhân $- 16$ với $- 9$ .

$- 729 + 567 + 144 + 18$

Bước 4.2

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Cộng $- 729$ và $567$ .

$- 162 + 144 + 18$

Bước 4.2.2

Cộng $- 162$ và $144$ .

$- 18 + 18$

Bước 4.2.3

Cộng $- 18$ và $18$ .

$0$

Bước 5

Vì $- 9$ là một nghiệm đã biết, chia đa thức cho $x + 9$ để tìm đa thức thương. Đa thức này sau đó có thể được sử dụng để tìm các nghiệm còn lại.

$\frac{x^{3} + 7 x^{2} - 16 x + 18}{x + 9}$

Bước 6

Tiếp theo, tìm các nghiệm của đa thức còn lại. Bậc của đa thức đã bị giảm xuống $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt các số đại diện cho số chia và số bị chia vào cấu hình giống như một phép chia.

$- 9$	$1$	$7$	$- 16$	$18$

Bước 6.2

Số đầu tiên trong số bị chia $(1)$ được đặt vào vị trí đầu tiên của phần kết quả (bên dưới đường thẳng ngang).

$- 9$	$1$	$7$	$- 16$	$18$

	$1$

Bước 6.3

Nhân số mới nhất trong kết quả $(1)$ với số chia $(- 9)$ và đặt kết quả của $(- 9)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(7)$ .

$- 9$	$1$	$7$	$- 16$	$18$
		$- 9$
	$1$

Bước 6.4

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- 9$	$1$	$7$	$- 16$	$18$
		$- 9$
	$1$	$- 2$

Bước 6.5

Nhân số mới nhất trong kết quả $(- 2)$ với số chia $(- 9)$ và đặt kết quả của $(18)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 16)$ .

$- 9$	$1$	$7$	$- 16$	$18$
		$- 9$	$18$
	$1$	$- 2$

Bước 6.6

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- 9$	$1$	$7$	$- 16$	$18$
		$- 9$	$18$
	$1$	$- 2$	$2$

Bước 6.7

Nhân số mới nhất trong kết quả $(2)$ với số chia $(- 9)$ và đặt kết quả của $(- 18)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(18)$ .

$- 9$	$1$	$7$	$- 16$	$18$
		$- 9$	$18$	$- 18$
	$1$	$- 2$	$2$

Bước 6.8

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- 9$	$1$	$7$	$- 16$	$18$
		$- 9$	$18$	$- 18$
	$1$	$- 2$	$2$	$0$

Bước 6.9

Tất cả các số trừ số cuối cùng trở thành hệ số của đa thức thương. Giá trị cuối cùng trong dòng kết quả là số dư.

$1 x^{2} + - 2 x + 2$

Bước 6.10

Rút gọn đa thức thương.

$x^{2} - 2 x + 2$

Bước 7

Giải phương trình để tìm các nghiệm còn lại.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 7.2

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = - 2$ , và $c = 2$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.3.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.3.1.2.2

Nhân $- 4$ với $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.3.1.3

Trừ $8$ khỏi $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.3.1.4

Viết lại $- 4$ ở dạng $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.3.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (4)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.3.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.3.1.7

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.3.1.8

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Bước 7.3.1.9

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Bước 7.3.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Bước 7.3.3

Rút gọn $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Bước 7.4

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.4.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.4.1.2.2

Nhân $- 4$ với $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.4.1.3

Trừ $8$ khỏi $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.4.1.4

Viết lại $- 4$ ở dạng $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.4.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (4)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.4.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.4.1.7

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.4.1.8

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Bước 7.4.1.9

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Bước 7.4.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Bước 7.4.3

Rút gọn $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Bước 7.4.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$x = 1 + i$

Bước 7.5

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.5.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.5.1.2.2

Nhân $- 4$ với $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.5.1.3

Trừ $8$ khỏi $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.5.1.4

Viết lại $- 4$ ở dạng $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.5.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (4)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.5.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.5.1.7

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.5.1.8

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Bước 7.5.1.9

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Bước 7.5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Bước 7.5.3

Rút gọn $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Bước 7.5.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$x = 1 - i$

Bước 7.6

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = 1 + i, 1 - i$

Bước 8

Đa thức có thể được viết dưới dạng một tập hợp các thừa số tuyến tính.

$(x + 9) (x - 1 - i) (x - 1 + i)$

Bước 9

Đây là các nghiệm (các điểm zero) của đa thức $x^{3} + 7 x^{2} - 16 x + 18$ .

$x = - 9, 1 + i, 1 - i$

Bước 10