Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = \frac{8 x}{3 x - 7}$

Bước 1

Viết $f (x) = \frac{8 x}{3 x - 7}$ ở dạng một phương trình.

$y = \frac{8 x}{3 x - 7}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \frac{8 y}{3 y - 7}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân phương trình với $3 y - 7$ .

$(3 y - 7) (x) = (\frac{8 y}{3 y - 7}) (3 y - 7)$

Bước 3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 y x - 7 x = (\frac{8 y}{3 y - 7}) (3 y - 7)$

Bước 3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $3 y - 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 y x - 7 x = \frac{8 y}{3 y - 7} (3 y - 7)$

Bước 3.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$3 y x - 7 x = 8 y$

Bước 3.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Trừ $8 y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$3 y x - 7 x - 8 y = 0$

Bước 3.4.2

Cộng $7 x$ cho cả hai vế của phương trình.

$3 y x - 8 y = 7 x$

Bước 3.4.3

Đưa $y$ ra ngoài $3 y x - 8 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $3 y x$ .

$y (3 x) - 8 y = 7 x$

Bước 3.4.3.2

Đưa $y$ ra ngoài $- 8 y$ .

$y (3 x) + y \cdot - 8 = 7 x$

Bước 3.4.3.3

Đưa $y$ ra ngoài $y (3 x) + y \cdot - 8$ .

$y (3 x - 8) = 7 x$

Bước 3.4.4

Chia mỗi số hạng trong $y (3 x - 8) = 7 x$ cho $3 x - 8$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.1

Chia mỗi số hạng trong $y (3 x - 8) = 7 x$ cho $3 x - 8$ .

$\frac{y (3 x - 8)}{3 x - 8} = \frac{7 x}{3 x - 8}$

Bước 3.4.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3 x - 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y (3 x - 8)}{3 x - 8} = \frac{7 x}{3 x - 8}$

Bước 3.4.4.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{7 x}{3 x - 8}$

Bước 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{3 x - 8}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{3 x - 8}$ có là hàm ngược của $f (x) = \frac{8 x}{3 x - 7}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{7 (\frac{8 x}{3 x - 7})}{3 (\frac{8 x}{3 x - 7}) - 8}$

Bước 5.2.3

Kết hợp $7$ và $\frac{8 x}{3 x - 7}$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{3 (\frac{8 x}{3 x - 7}) - 8}$

Bước 5.2.4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Nhân $3 \frac{8 x}{3 x - 7}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1.1

Kết hợp $3$ và $\frac{8 x}{3 x - 7}$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{3 (8 x)}{3 x - 7} - 8}$

Bước 5.2.4.1.2

Nhân $8$ với $3$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{24 x}{3 x - 7} - 8}$

Bước 5.2.4.2

Để viết $- 8$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3 x - 7}{3 x - 7}$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{24 x}{3 x - 7} - 8 \cdot \frac{3 x - 7}{3 x - 7}}$

Bước 5.2.4.3

Kết hợp $- 8$ và $\frac{3 x - 7}{3 x - 7}$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{24 x}{3 x - 7} + \frac{- 8 (3 x - 7)}{3 x - 7}}$

Bước 5.2.4.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{24 x - 8 (3 x - 7)}{3 x - 7}}$

Bước 5.2.4.5

Viết lại $\frac{24 x - 8 (3 x - 7)}{3 x - 7}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.5.1

Đưa $8$ ra ngoài $24 x - 8 (3 x - 7)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.5.1.1

Đưa $8$ ra ngoài $24 x$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{8 (3 x) - 8 (3 x - 7)}{3 x - 7}}$

Bước 5.2.4.5.1.2

Đưa $8$ ra ngoài $- 8 (3 x - 7)$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{8 (3 x) + 8 (- (3 x - 7))}{3 x - 7}}$

Bước 5.2.4.5.1.3

Đưa $8$ ra ngoài $8 (3 x) + 8 (- (3 x - 7))$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{8 (3 x - (3 x - 7))}{3 x - 7}}$

Bước 5.2.4.5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{8 (3 x - (3 x) + 7)}{3 x - 7}}$

Bước 5.2.4.5.3

Nhân $3$ với $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{8 (3 x - 3 x + 7)}{3 x - 7}}$

Bước 5.2.4.5.4

Nhân $- 1$ với $- 7$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{8 (3 x - 3 x + 7)}{3 x - 7}}$

Bước 5.2.4.5.5

Trừ $3 x$ khỏi $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{8 (0 + 7)}{3 x - 7}}$

Bước 5.2.4.5.6

Cộng $0$ và $7$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{8 \cdot 7}{3 x - 7}}$

Bước 5.2.4.6

Nhân $8$ với $7$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{7 (8 x)}{3 x - 7}}{\frac{56}{3 x - 7}}$

Bước 5.2.5

Nhân $7$ với $8$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{\frac{56 x}{3 x - 7}}{\frac{56}{3 x - 7}}$

Bước 5.2.6

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{56 x}{3 x - 7} \cdot \frac{3 x - 7}{56}$

Bước 5.2.7

Triệt tiêu thừa số chung $56$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.7.1

Đưa $56$ ra ngoài $56 x$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{56 (x)}{3 x - 7} \cdot \frac{3 x - 7}{56}$

Bước 5.2.7.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{56 x}{3 x - 7} \cdot \frac{3 x - 7}{56}$

Bước 5.2.7.3

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{x}{3 x - 7} \cdot (3 x - 7)$

Bước 5.2.8

Triệt tiêu thừa số chung $3 x - 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.8.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = \frac{x}{3 x - 7} \cdot (3 x - 7)$

Bước 5.2.8.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{3 x - 7}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\frac{7 x}{3 x - 8})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{8 (\frac{7 x}{3 x - 8})}{3 (\frac{7 x}{3 x - 8}) - 7}$

Bước 5.3.3

Kết hợp $8$ và $\frac{7 x}{3 x - 8}$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{3 (\frac{7 x}{3 x - 8}) - 7}$

Bước 5.3.4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Nhân $3 \frac{7 x}{3 x - 8}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1.1

Kết hợp $3$ và $\frac{7 x}{3 x - 8}$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{3 (7 x)}{3 x - 8} - 7}$

Bước 5.3.4.1.2

Nhân $7$ với $3$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{21 x}{3 x - 8} - 7}$

Bước 5.3.4.2

Để viết $- 7$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3 x - 8}{3 x - 8}$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{21 x}{3 x - 8} - 7 \cdot \frac{3 x - 8}{3 x - 8}}$

Bước 5.3.4.3

Kết hợp $- 7$ và $\frac{3 x - 8}{3 x - 8}$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{21 x}{3 x - 8} + \frac{- 7 (3 x - 8)}{3 x - 8}}$

Bước 5.3.4.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{21 x - 7 (3 x - 8)}{3 x - 8}}$

Bước 5.3.4.5

Viết lại $\frac{21 x - 7 (3 x - 8)}{3 x - 8}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.5.1

Đưa $7$ ra ngoài $21 x - 7 (3 x - 8)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.5.1.1

Đưa $7$ ra ngoài $21 x$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{7 (3 x) - 7 (3 x - 8)}{3 x - 8}}$

Bước 5.3.4.5.1.2

Đưa $7$ ra ngoài $- 7 (3 x - 8)$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{7 (3 x) + 7 (- (3 x - 8))}{3 x - 8}}$

Bước 5.3.4.5.1.3

Đưa $7$ ra ngoài $7 (3 x) + 7 (- (3 x - 8))$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{7 (3 x - (3 x - 8))}{3 x - 8}}$

Bước 5.3.4.5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{7 (3 x - (3 x) + 8)}{3 x - 8}}$

Bước 5.3.4.5.3

Nhân $3$ với $- 1$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{7 (3 x - 3 x + 8)}{3 x - 8}}$

Bước 5.3.4.5.4

Nhân $- 1$ với $- 8$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{7 (3 x - 3 x + 8)}{3 x - 8}}$

Bước 5.3.4.5.5

Trừ $3 x$ khỏi $3 x$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{7 (0 + 8)}{3 x - 8}}$

Bước 5.3.4.5.6

Cộng $0$ và $8$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{7 \cdot 8}{3 x - 8}}$

Bước 5.3.4.6

Nhân $7$ với $8$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{8 (7 x)}{3 x - 8}}{\frac{56}{3 x - 8}}$

Bước 5.3.5

Nhân $8$ với $7$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{\frac{56 x}{3 x - 8}}{\frac{56}{3 x - 8}}$

Bước 5.3.6

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{56 x}{3 x - 8} \cdot \frac{3 x - 8}{56}$

Bước 5.3.7

Triệt tiêu thừa số chung $56$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.7.1

Đưa $56$ ra ngoài $56 x$ .

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{56 (x)}{3 x - 8} \cdot \frac{3 x - 8}{56}$

Bước 5.3.7.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{56 x}{3 x - 8} \cdot \frac{3 x - 8}{56}$

Bước 5.3.7.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{x}{3 x - 8} \cdot (3 x - 8)$

Bước 5.3.8

Triệt tiêu thừa số chung $3 x - 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.8.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = \frac{x}{3 x - 8} \cdot (3 x - 8)$

Bước 5.3.8.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{7 x}{3 x - 8}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{3 x - 8}$ là hàm ngược của $f (x) = \frac{8 x}{3 x - 7}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{3 x - 8}$