Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}$

Bước 1

Viết $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}$ ở dạng một phương trình.

$y = 1 + \sqrt{1 + x}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = 1 + \sqrt{1 + y}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $1 + \sqrt{1 + y} = x$ .

$1 + \sqrt{1 + y} = x$

Bước 3.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\sqrt{1 + y} = x - 1$

Bước 3.3

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${\sqrt{1 + y}}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Bước 3.4

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{1 + y}$ ở dạng ${(1 + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Bước 3.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Rút gọn ${({(1 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(1 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

Bước 3.4.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(1 + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

Bước 3.4.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(1 + y)}^{1} = {(x - 1)}^{2}$

Bước 3.4.2.1.2

Rút gọn.

$1 + y = {(x - 1)}^{2}$

Bước 3.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Rút gọn ${(x - 1)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1.1

Viết lại ${(x - 1)}^{2}$ ở dạng $(x - 1) (x - 1)$ .

$1 + y = (x - 1) (x - 1)$

Bước 3.4.3.1.2

Khai triển $(x - 1) (x - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 + y = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

Bước 3.4.3.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 + y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

Bước 3.4.3.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 + y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Bước 3.4.3.1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1.3.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$1 + y = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Bước 3.4.3.1.3.1.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x$ .

$1 + y = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Bước 3.4.3.1.3.1.3

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$1 + y = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Bước 3.4.3.1.3.1.4

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$1 + y = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

Bước 3.4.3.1.3.1.5

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 + y = x^{2} - x - x + 1$

Bước 3.4.3.1.3.2

Trừ $x$ khỏi $- x$ .

$1 + y = x^{2} - 2 x + 1$

Bước 3.5

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y = x^{2} - 2 x + 1 - 1$

Bước 3.5.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x^{2} - 2 x + 1 - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$y = x^{2} - 2 x + 0$

Bước 3.5.2.2

Cộng $x^{2} - 2 x$ và $0$ .

$y = x^{2} - 2 x$

Bước 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$ có là hàm ngược của $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = {(1 + \sqrt{1 + x})}^{2} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Bước 5.2.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Viết lại ${(1 + \sqrt{1 + x})}^{2}$ ở dạng $(1 + \sqrt{1 + x}) (1 + \sqrt{1 + x})$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = (1 + \sqrt{1 + x}) (1 + \sqrt{1 + x}) - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Bước 5.2.3.2

Khai triển $(1 + \sqrt{1 + x}) (1 + \sqrt{1 + x})$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 (1 + \sqrt{1 + x}) + \sqrt{1 + x} (1 + \sqrt{1 + x}) - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Bước 5.2.3.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} (1 + \sqrt{1 + x}) - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Bước 5.2.3.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \cdot 1 + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Bước 5.2.3.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.3.1.1

Nhân $1$ với $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + 1 \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \cdot 1 + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Bước 5.2.3.3.1.2

Nhân $\sqrt{1 + x}$ với $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \cdot 1 + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Bước 5.2.3.3.1.3

Nhân $\sqrt{1 + x}$ với $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Bước 5.2.3.3.1.4

Nhân $\sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.3.1.4.1

Nâng $\sqrt{1 + x}$ lên lũy thừa $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Bước 5.2.3.3.1.4.2

Nâng $\sqrt{1 + x}$ lên lũy thừa $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Bước 5.2.3.3.1.4.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {\sqrt{1 + x}}^{1 + 1} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Bước 5.2.3.3.1.4.4

Cộng $1$ và $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {\sqrt{1 + x}}^{2} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Bước 5.2.3.3.1.5

Viết lại ${\sqrt{1 + x}}^{2}$ ở dạng $1 + x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.3.1.5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{1 + x}$ ở dạng ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Bước 5.2.3.3.1.5.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {(1 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Bước 5.2.3.3.1.5.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {(1 + x)}^{\frac{2}{2}} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Bước 5.2.3.3.1.5.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.3.1.5.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {(1 + x)}^{\frac{2}{2}} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Bước 5.2.3.3.1.5.4.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + 1 + x - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Bước 5.2.3.3.1.5.5

Rút gọn.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + 1 + x - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Bước 5.2.3.3.2

Cộng $1$ và $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + x - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Bước 5.2.3.3.3

Cộng $\sqrt{1 + x}$ và $\sqrt{1 + x}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Bước 5.2.3.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 \cdot 1 - 2 \sqrt{1 + x}$

Bước 5.2.3.5

Nhân $- 2$ với $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 - 2 \sqrt{1 + x}$

Bước 5.2.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 - 2 \sqrt{1 + x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 0 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 \sqrt{1 + x}$

Bước 5.2.4.2

Cộng $0$ và $2 \sqrt{1 + x}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 \sqrt{1 + x}$

Bước 5.2.4.3

Trừ $2 \sqrt{1 + x}$ khỏi $2 \sqrt{1 + x}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = x + 0$

Bước 5.2.4.4

Cộng $x$ và $0$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (x^{2} - 2 x)$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1 + x^{2} - 2 x}$

Bước 5.3.3

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1 + x^{2} - 2 x}$

Bước 5.3.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1 - 2 x + x^{2}}$

Bước 5.3.4.1.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1^{2} - 2 x + x^{2}}$

Bước 5.3.4.1.3

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$2 x = 2 \cdot 1 \cdot x$

Bước 5.3.4.1.4

Viết lại đa thức này.

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot x + x^{2}}$

Bước 5.3.4.1.5

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , trong đó $a = 1$ và $b = x$ .

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{{(1 - x)}^{2}}$

Bước 5.3.4.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + 1 - x$

Bước 5.3.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.1

Cộng $1$ và $1$ .

$f (x^{2} - 2 x) = 2 - x$

Bước 5.3.5.2

Sắp xếp lại $2$ và $- x$ .

$f (x^{2} - 2 x) = - x + 2$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$ là hàm ngược của $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$