Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{4} = 1$

Bước 1

Rút gọn từng số hạng trong phương trình để đặt vế phải bằng $1$ . Dạng chính tắc của hình elip hoặc hyperbol yêu cầu phía vế phải của phương trình bằng $1$ .

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{4} = 1$

Bước 2

Đây là dạng của một hyperbol. Sử dụng dạng này để xác định các giá trị được sử dụng để tìm các đỉnh và các tiệm cận của hyperbol.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Bước 3

Tương ứng các giá trị trong hyperbol này với dạng chính tắc. Biến $h$ là khoảng cách theo trục x tính từ gốc tọa độ, $k$ là khoảng cách theo trục y tính từ gốc tọa độ, $a$ .

$a = 2$

$b = 2$

$k = 0$

$h = 0$

Bước 4

Tâm của một hyperbol có dạng $(h, k)$ . Thay vào các giá trị của $h$ và $k$ .

$(0, 0)$

Bước 5

Tìm $c$ , khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm của đường hyperbol bằng công thức sau.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Bước 5.2

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(2)}^{2}}$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{4 + {(2)}^{2}}$

Bước 5.3.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{4 + 4}$

Bước 5.3.3

Cộng $4$ và $4$ .

$\sqrt{8}$

Bước 5.3.4

Viết lại $8$ ở dạng $2^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$\sqrt{4 (2)}$

Bước 5.3.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Bước 5.3.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$2 \sqrt{2}$

Bước 6

Tìm các đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Có thể tìm đỉnh đầu tiên của một hyperbol bằng cách cộng $a$ vào $h$ .

$(h + a, k)$

Bước 6.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $a$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(2, 0)$

Bước 6.3

Có thể tìm đỉnh thứ hai của một hyperbol bằng cách trừ $a$ từ $h$ .

$(h - a, k)$

Bước 6.4

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $a$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(- 2, 0)$

Bước 6.5

Các đỉnh của một hyperbol có dạng $(h \pm a, k)$ . Hyperbol có hai đỉnh.

$(2, 0), (- 2, 0)$

Bước 7

Tìm tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Có thể tìm tiêu điểm đầu tiên của một hyperbol bằng cách cộng $c$ vào $h$ .

$(h + c, k)$

Bước 7.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $c$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(2 \sqrt{2}, 0)$

Bước 7.3

Có thể tìm tiêu điểm thứ hai của một hyperbol bằng cách trừ $c$ từ $h$ .

$(h - c, k)$

Bước 7.4

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $c$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(- 2 \sqrt{2}, 0)$

Bước 7.5

Tiêu điểm của một hyperbol có dạng $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Hyperbol có hai tiêu điểm.

$(2 \sqrt{2}, 0), (- 2 \sqrt{2}, 0)$

Bước 8

Tìm tâm sai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tìm tâm sai bằng công thức sau.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Bước 8.2

Thay giá trị của $a$ và $b$ vào công thức.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(2)}^{2}}}{2}$

Bước 8.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2^{2}}}{2}$

Bước 8.3.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4}}{2}$

Bước 8.3.1.3

Cộng $4$ và $4$ .

$\frac{\sqrt{8}}{2}$

Bước 8.3.1.4

Viết lại $8$ ở dạng $2^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$\frac{\sqrt{4 (2)}}{2}$

Bước 8.3.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2}$

Bước 8.3.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Bước 8.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Bước 8.3.2.2

Chia $\sqrt{2}$ cho $1$ .

$\sqrt{2}$

Bước 9

Các tiệm cận có dạng $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ vì hyperbol này quay mặt lõm sang trái và sang phải.

$y = \pm 1 \cdot x + 0$

Bước 10

Rút gọn $1 \cdot x + 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Cộng $1 \cdot x$ và $0$ .

$y = 1 \cdot x$

Bước 10.2

Nhân $x$ với $1$ .

$y = x$

Bước 11

Rút gọn $- 1 \cdot x + 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Cộng $- 1 \cdot x$ và $0$ .

$y = - 1 \cdot x$

Bước 11.2

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$y = - x$

Bước 12

Hyperbol này có hai tiệm cận.

$y = x, y = - x$

Bước 13

Những giá trị này đại diện cho các giá trị quan trọng cho việc vẽ đồ thị và phân tích một hyperbol.

Tâm: $(0, 0)$

Các đỉnh: $(2, 0), (- 2, 0)$

Tiêu điểm: $(2 \sqrt{2}, 0), (- 2 \sqrt{2}, 0)$

Tâm sai: $\sqrt{2}$

Tham số tiêu: $\sqrt{2}$

Các đường tiệm cận: $y = x$ , $y = - x$

Bước 14