Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\ln (x) + \ln (x + 10) = 3$

Bước 1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x (x + 10)) = 3$

Bước 1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 10) = 3$

Bước 1.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nhân $x$ với $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot 10) = 3$

Bước 1.3.2

Di chuyển $10$ sang phía bên trái của $x$ .

$\ln (x^{2} + 10 x) = 3$

Bước 2

Để giải tìm $x$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (x^{2} + 10 x)} = e^{3}$

Bước 3

Viết lại $\ln (x^{2} + 10 x) = 3$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{3} = x^{2} + 10 x$

Bước 4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $x^{2} + 10 x = e^{3}$ .

$x^{2} + 10 x = e^{3}$

Bước 4.2

Trừ $e^{3}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{2} + 10 x - e^{3} = 0$

Bước 4.3

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 4.4

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = 10$ , và $c = - e^{3}$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- e^{3}))}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1.1

Nâng $10$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 e^{3})}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.5.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot (- 1 e^{3})}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.5.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 4 e^{3}}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.5.1.3

Viết lại $100 + 4 e^{3}$ ở dạng $2^{2} (25 + e^{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $100$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 e^{3}}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.5.1.3.2

Đưa $4$ ra ngoài $4 e^{3}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 (e^{3})}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.5.1.3.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 (25) + 4 (e^{3})$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (25 + e^{3})}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.5.1.3.4

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{2^{2} (25 + e^{3})}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.5.1.4

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{25 + e^{3}}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{25 + e^{3}}}{2}$

Bước 4.5.3

Rút gọn $\frac{- 10 \pm 2 \sqrt{25 + e^{3}}}{2}$ .

$x = - 5 \pm \sqrt{25 + e^{3}}$

Bước 4.6

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = - 5 + \sqrt{25 + e^{3}}, - 5 - \sqrt{25 + e^{3}}$

Bước 5

Loại bỏ đáp án không làm cho $\ln (x) + \ln (x + 10) = 3$ đúng.

$x = - 5 + \sqrt{25 + e^{3}}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$x = - 5 + \sqrt{25 + e^{3}}$

Dạng thập phân:

$x = 1.71457645 \dots$