Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\ln (x) + \ln (x + 1) = 4$

Bước 1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x (x + 1)) = 4$

Bước 1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 1) = 4$

Bước 1.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nhân $x$ với $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot 1) = 4$

Bước 1.3.2

Nhân $x$ với $1$ .

$\ln (x^{2} + x) = 4$

Bước 2

Để giải tìm $x$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (x^{2} + x)} = e^{4}$

Bước 3

Viết lại $\ln (x^{2} + x) = 4$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{4} = x^{2} + x$

Bước 4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $x^{2} + x = e^{4}$ .

$x^{2} + x = e^{4}$

Bước 4.2

Trừ $e^{4}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{2} + x - e^{4} = 0$

Bước 4.3

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 4.4

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = 1$ , và $c = - e^{4}$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- e^{4}))}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 e^{4})}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.5.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 1 e^{4})}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.5.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 e^{4}}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 e^{4}}}{2}$

Bước 4.6

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 e^{4}}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{1 + 4 e^{4}}}{2}$

Bước 5

Loại bỏ đáp án không làm cho $\ln (x) + \ln (x + 1) = 4$ đúng.

$x = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 e^{4}}}{2}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$x = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 e^{4}}}{2}$

Dạng thập phân:

$x = 6.90595368 \dots$