Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{2}$

Bước 1

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$x, x + 2, 2$

Bước 1.2

Since $x, x + 2, 2$ contains both numbers and variables, there are four steps to find the LCM. Find LCM for the numeric, variable, and compound variable parts. Then, multiply them all together.

Các bước để tìm BCNN cho $x, x + 2, 2$ là:

1. Tìm BCNN cho phần số $1, 1, 2$ .

2. Tìm BCNN cho phần biến $x^{1}$ .

3. Tìm BCNN cho phần biến phức hợp $x + 2$ .

4. Nhân các BCNN với nhau.

Bước 1.3

BCNN là số dương nhỏ nhất mà tất cả các số chia đều cho nó.

1. Liệt kê các thừa số nguyên tố của từng số.

2. Nhân mỗi thừa số với số lần xuất hiện nhiều nhất của nó ở một trong các số.

Bước 1.4

Số $1$ không phải là một số nguyên tố vì nó chỉ có một thừa số dương, cũng là chính nó.

Không phải là số nguyên tố

Bước 1.5

Vì $2$ không có thừa số nào ngoài $1$ và $2$ .

$2$ là một số nguyên tố

Bước 1.6

BCNN của $1, 1, 2$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số nguyên tố với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số.

$2$

Bước 1.7

Thừa số cho $x^{1}$ là chính nó $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ xảy ra $1$ lần.

Bước 1.8

BCNN của $x^{1}$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số nguyên tố với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số hạng.

$x$

Bước 1.9

Thừa số cho $x + 2$ là chính nó $x + 2$ .

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ xảy ra $1$ lần.

Bước 1.10

BCNN của $x + 2$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số hạng.

$x + 2$

Bước 1.11

Bội số chung nhỏ nhất $LCM$ của một vài số là số nhỏ nhất mà các số là các thừa số của nó.

$2 x (x + 2)$

Bước 2

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{2}$ với $2 x (x + 2)$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{2}$ với $2 x (x + 2)$ .

$\frac{1}{x} (2 x (x + 2)) + \frac{1}{x + 2} (2 x (x + 2)) = \frac{1}{2} (2 x (x + 2))$

Bước 2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$2 \frac{1}{x} (x (x + 2)) + \frac{1}{x + 2} (2 x (x + 2)) = \frac{1}{2} (2 x (x + 2))$

Bước 2.2.1.2

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2}{x} (x (x + 2)) + \frac{1}{x + 2} (2 x (x + 2)) = \frac{1}{2} (2 x (x + 2))$

Bước 2.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{x} (x (x + 2)) + \frac{1}{x + 2} (2 x (x + 2)) = \frac{1}{2} (2 x (x + 2))$

Bước 2.2.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$2 (x + 2) + \frac{1}{x + 2} (2 x (x + 2)) = \frac{1}{2} (2 x (x + 2))$

Bước 2.2.1.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 x + 2 \cdot 2 + \frac{1}{x + 2} (2 x (x + 2)) = \frac{1}{2} (2 x (x + 2))$

Bước 2.2.1.5

Nhân $2$ với $2$ .

$2 x + 4 + \frac{1}{x + 2} (2 x (x + 2)) = \frac{1}{2} (2 x (x + 2))$

Bước 2.2.1.6

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$2 x + 4 + 2 \frac{1}{x + 2} (x (x + 2)) = \frac{1}{2} (2 x (x + 2))$

Bước 2.2.1.7

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{x + 2}$ .

$2 x + 4 + \frac{2}{x + 2} (x (x + 2)) = \frac{1}{2} (2 x (x + 2))$

Bước 2.2.1.8

Triệt tiêu thừa số chung $x + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.8.1

Đưa $x + 2$ ra ngoài $x (x + 2)$ .

$2 x + 4 + \frac{2}{x + 2} ((x + 2) x) = \frac{1}{2} (2 x (x + 2))$

Bước 2.2.1.8.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 x + 4 + \frac{2}{x + 2} ((x + 2) x) = \frac{1}{2} (2 x (x + 2))$

Bước 2.2.1.8.3

Viết lại biểu thức.

$2 x + 4 + 2 x = \frac{1}{2} (2 x (x + 2))$

Bước 2.2.2

Cộng $2 x$ và $2 x$ .

$4 x + 4 = \frac{1}{2} (2 x (x + 2))$

Bước 2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x (x + 2)$ .

$4 x + 4 = \frac{1}{2} (2 (x (x + 2)))$

Bước 2.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 x + 4 = \frac{1}{2} (2 (x (x + 2)))$

Bước 2.3.1.3

Viết lại biểu thức.

$4 x + 4 = x (x + 2)$

Bước 2.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 x + 4 = x \cdot x + x \cdot 2$

Bước 2.3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Nhân $x$ với $x$ .

$4 x + 4 = x^{2} + x \cdot 2$

Bước 2.3.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$4 x + 4 = x^{2} + 2 x$

Bước 3

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $x$ nằm ở vế phải phương trình, ta hoán đổi vế để nó nằm ở vế trái của phương trình.

$x^{2} + 2 x = 4 x + 4$

Bước 3.2

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $x$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Trừ $4 x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{2} + 2 x - 4 x = 4$

Bước 3.2.2

Trừ $4 x$ khỏi $2 x$ .

$x^{2} - 2 x = 4$

Bước 3.3

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{2} - 2 x - 4 = 0$

Bước 3.4

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 3.5

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = - 2$ , và $c = - 4$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6.1.3

Cộng $4$ và $16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6.1.4

Viết lại $20$ ở dạng $2^{2} \cdot 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Bước 3.6.3

Rút gọn $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Bước 3.7

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

Bước 4

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$x = 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

Dạng thập phân:

$x = 3.23606797 \dots, - 1.23606797 \dots$