Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = 1$

Bước 1

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm tang.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = \arctan (1)$

Bước 2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Giá trị chính xác của $\arctan (1)$ là $\frac{π}{4}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = \frac{π}{4}$

Bước 3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $x$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Trừ $\frac{π}{3}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4} - \frac{π}{3}$

Bước 3.2

Để viết $\frac{π}{4}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Bước 3.3

Để viết $- \frac{π}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Bước 3.4

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $12$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Nhân $\frac{π}{4}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Bước 3.4.2

Nhân $4$ với $3$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3}{12} - \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Bước 3.4.3

Nhân $\frac{π}{3}$ với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3}{12} - \frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4}$

Bước 3.4.4

Nhân $3$ với $4$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3}{12} - \frac{π \cdot 4}{12}$

Bước 3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3 - π \cdot 4}{12}$

Bước 3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 \cdot π - π \cdot 4}{12}$

Bước 3.6.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π - 4 π}{12}$

Bước 3.6.3

Trừ $4 π$ khỏi $3 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{- π}{12}$

Bước 3.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{12}$

Bước 4

Nhân cả hai vế của phương trình với $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{12})$

Bước 5

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{12})$

Bước 5.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$x = 2 (- \frac{π}{12})$

Bước 5.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn $2 (- \frac{π}{12})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{π}{12}$ vào tử số.

$x = 2 \frac{- π}{12}$

Bước 5.2.1.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $12$ .

$x = 2 \frac{- π}{2 (6)}$

Bước 5.2.1.1.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = 2 \frac{- π}{2 \cdot 6}$

Bước 5.2.1.1.4

Viết lại biểu thức.

$x = \frac{- π}{6}$

Bước 5.2.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{π}{6}$

Bước 6

Hàm tang dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy cộng góc tham chiếu từ $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = π + \frac{π}{4}$

Bước 7

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn $π + \frac{π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Bước 7.1.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.2.1

Kết hợp $π$ và $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Bước 7.1.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Bước 7.1.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.3.1

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $π$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Bước 7.1.3.2

Cộng $4 π$ và $π$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = \frac{5 π}{4}$

Bước 7.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $x$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Trừ $\frac{π}{3}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{4} - \frac{π}{3}$

Bước 7.2.2

Để viết $\frac{5 π}{4}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Bước 7.2.3

Để viết $- \frac{π}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Bước 7.2.4

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $12$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.1

Nhân $\frac{5 π}{4}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Bước 7.2.4.2

Nhân $4$ với $3$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 3}{12} - \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Bước 7.2.4.3

Nhân $\frac{π}{3}$ với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 3}{12} - \frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4}$

Bước 7.2.4.4

Nhân $3$ với $4$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 3}{12} - \frac{π \cdot 4}{12}$

Bước 7.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x}{2} = \frac{5 π \cdot 3 - π \cdot 4}{12}$

Bước 7.2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.6.1

Nhân $3$ với $5$ .

$\frac{x}{2} = \frac{15 π - π \cdot 4}{12}$

Bước 7.2.6.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\frac{x}{2} = \frac{15 π - 4 π}{12}$

Bước 7.2.6.3

Trừ $4 π$ khỏi $15 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{11 π}{12}$

Bước 7.3

Nhân cả hai vế của phương trình với $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{11 π}{12}$

Bước 7.4

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{11 π}{12}$

Bước 7.4.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$x = 2 \frac{11 π}{12}$

Bước 7.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $12$ .

$x = 2 \frac{11 π}{2 (6)}$

Bước 7.4.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = 2 \frac{11 π}{2 \cdot 6}$

Bước 7.4.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$x = \frac{11 π}{6}$

Bước 8

Tìm chu kỳ của $\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Bước 8.2

Thay thế $b$ với $\frac{1}{2}$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{π}{| \frac{1}{2} |}$

Bước 8.3

$\frac{1}{2}$ xấp xỉ $0.5$ , là một số dương, nên ta loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

Bước 8.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$π \cdot 2$

Bước 8.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $π$ .

$2 π$

Bước 9

Cộng $2 π$ vào mọi góc âm để có được các góc dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Cộng $2 π$ vào $- \frac{π}{6}$ để tìm góc dương.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Bước 9.2

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Bước 9.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Bước 9.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Bước 9.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.1

Nhân $6$ với $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Bước 9.4.2

Trừ $π$ khỏi $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Bước 9.5

Liệt kê các góc mới.

$x = \frac{11 π}{6}$

Bước 10

Chu kỳ của hàm $\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 11

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$