Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\frac{\tan (x)}{1 - \cos (x)} = \csc (x) (1 + \sec (x))$

Bước 1

Bắt đầu ở vế trái.

$\frac{\tan (x)}{1 - \cos (x)}$

Bước 2

Nhân $\frac{\tan (x)}{1 - \cos (x)}$ với $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{\tan (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Bước 3

Kết hợp.

$\frac{\tan (x) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Bước 4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\tan (x) \cdot 1 + \tan (x) \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Bước 4.2

Nhân $\tan (x)$ với $1$ .

$\frac{\tan (x) + \tan (x) \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Bước 5

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Khai triển $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\tan (x) + \tan (x) \cos (x)}{1 (1 + \cos (x)) - \cos (x) (1 + \cos (x))}$

Bước 5.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\tan (x) + \tan (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 \cos (x) - \cos (x) (1 + \cos (x))}$

Bước 5.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\tan (x) + \tan (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 \cos (x) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) \cos (x)}$

Bước 5.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

$\frac{\tan (x) + \tan (x) \cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

Bước 6

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\frac{\tan (x) + \tan (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 7

Quy đổi sang sin và cosin.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết $\tan (x)$ ở dạng sin và cosin bằng đẳng thức thương số.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \tan (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 7.2

Viết $\tan (x)$ ở dạng sin và cosin bằng đẳng thức thương số.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Bước 8.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Bước 8.1.2

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.2.1

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Bước 8.1.2.2

Nhân với $1$ .

$\frac{\sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1}{{\sin (x)}^{2}}$

Bước 8.1.2.3

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $\sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1$ .

$\frac{\sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} + 1)}{{\sin (x)}^{2}}$

Bước 8.1.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{\sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)})}{{\sin (x)}^{2}}$

Bước 8.1.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\sin (x) \frac{1 + \cos (x)}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

Bước 8.2

Kết hợp $\sin (x)$ và $\frac{1 + \cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

Bước 8.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Bước 8.4

Kết hợp.

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x)) \cdot 1}{\cos (x) {\sin (x)}^{2}}$

Bước 8.5

Triệt tiêu thừa số chung của $\sin (x)$ và ${\sin (x)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $\sin (x) (1 + \cos (x)) \cdot 1$ .

$\frac{\sin (x) ((1 + \cos (x)) \cdot 1)}{\cos (x) {\sin (x)}^{2}}$

Bước 8.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.2.1

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $\cos (x) {\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{\sin (x) ((1 + \cos (x)) \cdot 1)}{\sin (x) (\cos (x) \sin (x))}$

Bước 8.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sin (x) ((1 + \cos (x)) \cdot 1)}{\sin (x) (\cos (x) \sin (x))}$

Bước 8.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{(1 + \cos (x)) \cdot 1}{\cos (x) \sin (x)}$

Bước 8.6

Nhân $1 + \cos (x)$ với $1$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Bước 9

Bây giờ hãy xét vế phải của phương trình.

$\csc (x) (1 + \sec (x))$

Bước 10

Quy đổi sang sin và cosin.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Áp dụng đẳng thức nghịch đảo cho $\csc (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} (1 + \sec (x))$

Bước 10.2

Áp dụng đẳng thức nghịch đảo cho $\sec (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} (1 + \frac{1}{\cos (x)})$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot 1 + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Bước 11.2

Nhân $\frac{1}{\sin (x)}$ với $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Bước 11.3

Nhân $\frac{1}{\sin (x)}$ với $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x) \cos (x)}$

Bước 12

Cộng các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Để viết $\frac{1}{\sin (x)}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x) \cos (x)}$

Bước 12.2

Nhân $\frac{1}{\sin (x)}$ với $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) \cos (x)} + \frac{1}{\sin (x) \cos (x)}$

Bước 12.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\cos (x) + 1}{\sin (x) \cos (x)}$

Bước 13

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1 + \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Bước 14

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$\frac{\tan (x)}{1 - \cos (x)} = \csc (x) (1 + \sec (x))$ là một đẳng thức