Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\sum_{k = 1}^{8} 4 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}$

Bước 1

Tổng của một chuỗi cấp số nhân hữu hạn có thể được xác định bằng cách dùng công thức $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ với $a$ là số hạng đầu tiên và $r$ là tỉ số giữa hai số hạng kề nhau.

Bước 2

Tìm tỉ số giữa các số hạng liền kề bằng cách thế vào công thức $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay $a_{k}$ và $a_{k + 1}$ vào công thức cho $r$ .

$r = \frac{4 {(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{4 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{4 {(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{4 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Bước 2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Bước 2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của ${(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}$ và ${(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Đưa ${(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ ra ngoài ${(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Bước 2.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.2.1

Nhân với $1$ .

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} \cdot 1}$

Bước 2.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} \cdot 1}$

Bước 2.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

Bước 2.2.2.2.4

Chia ${(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}$ cho $1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}$

Bước 2.2.3

Cộng $k$ và $0$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - (k - 1)}$

Bước 2.2.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - k - - 1}$

Bước 2.2.4.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - k + 1}$

Bước 2.2.5

Trừ $k$ khỏi $k$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{0 + 1}$

Bước 2.2.6

Cộng $0$ và $1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{1}$

Bước 2.2.7

Rút gọn.

$r = \frac{2}{3}$

Bước 3

Tìm số hạng đầu tiên trong chuỗi bằng cách thay biên dưới vào và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay $1$ cho $k$ vào $4 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ .

$a = 4 {(\frac{2}{3})}^{1 - 1}$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$a = 4 {(\frac{2}{3})}^{0}$

Bước 3.2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{2}{3}$ .

$a = 4 \frac{2^{0}}{3^{0}}$

Bước 3.2.3

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$a = 4 \frac{1}{3^{0}}$

Bước 3.2.4

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$a = 4 (\frac{1}{1})$

Bước 3.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$a = 4 (\frac{1}{1})$

Bước 3.2.5.2

Viết lại biểu thức.

$a = 4 \cdot 1$

Bước 3.2.6

Nhân $4$ với $1$ .

$a = 4$

Bước 4

Thế giá trị của công bội, số hạng đầu, và số các số hạng vào công thức tính tổng.

$4 \frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{8}}{1 - \frac{2}{3}}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Nhân $\frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{8}}{1 - \frac{2}{3}}$ với $\frac{3}{3}$ .

$4 (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{8}}{1 - \frac{2}{3}})$

Bước 5.1.2

Kết hợp.

$4 \frac{3 (1 - {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 (1 - \frac{2}{3})}$

Bước 5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{2}{3})}$

Bước 5.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{2}{3}$ vào tử số.

$4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 2}{3})}$

Bước 5.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 2}{3})}$

Bước 5.3.3

Viết lại biểu thức.

$4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 2}$

Bước 5.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Nhân $3$ với $1$ .

$4 \frac{3 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 2}$

Bước 5.4.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{2}{3}$ .

$4 \frac{3 + 3 (- \frac{2^{8}}{3^{8}})}{3 \cdot 1 - 2}$

Bước 5.4.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{2^{8}}{3^{8}}$ vào tử số.

$4 \frac{3 + 3 \frac{- 2^{8}}{3^{8}}}{3 \cdot 1 - 2}$

Bước 5.4.3.2

Đưa $3$ ra ngoài $3^{8}$ .

$4 \frac{3 + 3 \frac{- 2^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 2}$

Bước 5.4.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 \frac{3 + 3 \frac{- 2^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 2}$

Bước 5.4.3.4

Viết lại biểu thức.

$4 \frac{3 + \frac{- 2^{8}}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 2}$

Bước 5.4.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $8$ .

$4 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 256}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 2}$

Bước 5.4.5

Nâng $3$ lên lũy thừa $7$ .

$4 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Bước 5.4.6

Nhân $- 1$ với $256$ .

$4 \frac{3 + \frac{- 256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Bước 5.4.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$4 \frac{3 - \frac{256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Bước 5.4.8

Để viết $3$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2187}{2187}$ .

$4 \frac{3 \cdot \frac{2187}{2187} - \frac{256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Bước 5.4.9

Kết hợp $3$ và $\frac{2187}{2187}$ .

$4 \frac{\frac{3 \cdot 2187}{2187} - \frac{256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Bước 5.4.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$4 \frac{\frac{3 \cdot 2187 - 256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Bước 5.4.11

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.11.1

Nhân $3$ với $2187$ .

$4 \frac{\frac{6561 - 256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Bước 5.4.11.2

Trừ $256$ khỏi $6561$ .

$4 \frac{\frac{6305}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Bước 5.5

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Nhân $3$ với $1$ .

$4 \frac{\frac{6305}{2187}}{3 - 2}$

Bước 5.5.2

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$4 \frac{\frac{6305}{2187}}{1}$

Bước 5.6

Chia $\frac{6305}{2187}$ cho $1$ .

$4 (\frac{6305}{2187})$

Bước 5.7

Nhân $4 (\frac{6305}{2187})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1

Kết hợp $4$ và $\frac{6305}{2187}$ .

$\frac{4 \cdot 6305}{2187}$

Bước 5.7.2

Nhân $4$ với $6305$ .

$\frac{25220}{2187}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{25220}{2187}$

Dạng thập phân:

$11.53177869 \dots$

Dạng hỗn số:

$11 \frac{1163}{2187}$