Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{144} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{25} = 1$

Bước 1

Rút gọn từng số hạng trong phương trình để đặt vế phải bằng $1$ . Dạng chính tắc của hình elip hoặc hyperbol yêu cầu phía vế phải của phương trình bằng $1$ .

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{144} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{25} = 1$

Bước 2

Đây là dạng của một hyperbol. Sử dụng dạng này để xác định các giá trị được sử dụng để tìm các đỉnh và các tiệm cận của hyperbol.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Bước 3

Tương ứng các giá trị trong hyperbol này với dạng chính tắc. Biến $h$ là khoảng cách theo trục x tính từ gốc tọa độ, $k$ là khoảng cách theo trục y tính từ gốc tọa độ, $a$ .

$a = 12$

$b = 5$

$k = 2$

$h = - 3$

Bước 4

Tâm của một hyperbol có dạng $(h, k)$ . Thay vào các giá trị của $h$ và $k$ .

$(- 3, 2)$

Bước 5

Tìm $c$ , khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm của đường hyperbol bằng công thức sau.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Bước 5.2

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức.

$\sqrt{{(12)}^{2} + {(5)}^{2}}$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nâng $12$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{144 + {(5)}^{2}}$

Bước 5.3.2

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{144 + 25}$

Bước 5.3.3

Cộng $144$ và $25$ .

$\sqrt{169}$

Bước 5.3.4

Viết lại $169$ ở dạng $13^{2}$ .

$\sqrt{13^{2}}$

Bước 5.3.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$13$

Bước 6

Tìm các đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Có thể tìm đỉnh đầu tiên của một hyperbol bằng cách cộng $a$ vào $h$ .

$(h + a, k)$

Bước 6.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $a$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(9, 2)$

Bước 6.3

Có thể tìm đỉnh thứ hai của một hyperbol bằng cách trừ $a$ từ $h$ .

$(h - a, k)$

Bước 6.4

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $a$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(- 15, 2)$

Bước 6.5

Các đỉnh của một hyperbol có dạng $(h \pm a, k)$ . Hyperbol có hai đỉnh.

$(9, 2), (- 15, 2)$

Bước 7

Tìm tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Có thể tìm tiêu điểm đầu tiên của một hyperbol bằng cách cộng $c$ vào $h$ .

$(h + c, k)$

Bước 7.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $c$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(10, 2)$

Bước 7.3

Có thể tìm tiêu điểm thứ hai của một hyperbol bằng cách trừ $c$ từ $h$ .

$(h - c, k)$

Bước 7.4

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $c$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(- 16, 2)$

Bước 7.5

Tiêu điểm của một hyperbol có dạng $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Hyperbol có hai tiêu điểm.

$(10, 2), (- 16, 2)$

Bước 8

Tìm tâm sai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tìm tâm sai bằng công thức sau.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Bước 8.2

Thay giá trị của $a$ và $b$ vào công thức.

$\frac{\sqrt{{(12)}^{2} + {(5)}^{2}}}{12}$

Bước 8.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Nâng $12$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{\sqrt{144 + 5^{2}}}{12}$

Bước 8.3.2

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{\sqrt{144 + 25}}{12}$

Bước 8.3.3

Cộng $144$ và $25$ .

$\frac{\sqrt{169}}{12}$

Bước 8.3.4

Viết lại $169$ ở dạng $13^{2}$ .

$\frac{\sqrt{13^{2}}}{12}$

Bước 8.3.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{13}{12}$

Bước 9

Tìm tham số tiêu.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tìm giá trị của thông số tiêu cự hyperbol bằng cách sử dụng công thức sau.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Bước 9.2

Thay các giá trị của $b$ và $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ vào công thức.

$\frac{5^{2}}{13}$

Bước 9.3

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{25}{13}$

Bước 10

Các tiệm cận có dạng $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ vì hyperbol này quay mặt lõm sang trái và sang phải.

$y = \pm \frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$

Bước 11

Rút gọn để tìm tiệm cận thứ nhất.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = \frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$

Bước 11.2

Rút gọn $\frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.1

Nhân $- 1$ với $- 3$ .

$y = \frac{5}{12} \cdot (x + 3) + 2$

Bước 11.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{5}{12} x + \frac{5}{12} \cdot 3 + 2$

Bước 11.2.1.3

Kết hợp $\frac{5}{12}$ và $x$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} \cdot 3 + 2$

Bước 11.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.4.1

Đưa $3$ ra ngoài $12$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{3 (4)} \cdot 3 + 2$

Bước 11.2.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{3 \cdot 4} \cdot 3 + 2$

Bước 11.2.1.4.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{4} + 2$

Bước 11.2.2

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

Bước 11.2.3

Kết hợp $2$ và $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Bước 11.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5 + 2 \cdot 4}{4}$

Bước 11.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.5.1

Nhân $2$ với $4$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5 + 8}{4}$

Bước 11.2.5.2

Cộng $5$ và $8$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{13}{4}$

Bước 12

Rút gọn để tìm tiệm cận thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = - \frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$

Bước 12.2

Rút gọn $- \frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1.1

Nhân $- 1$ với $- 3$ .

$y = - \frac{5}{12} \cdot (x + 3) + 2$

Bước 12.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = - \frac{5}{12} x - \frac{5}{12} \cdot 3 + 2$

Bước 12.2.1.3

Kết hợp $x$ và $\frac{5}{12}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} - \frac{5}{12} \cdot 3 + 2$

Bước 12.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{5}{12}$ vào tử số.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{12} \cdot 3 + 2$

Bước 12.2.1.4.2

Đưa $3$ ra ngoài $12$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{3 (4)} \cdot 3 + 2$

Bước 12.2.1.4.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{3 \cdot 4} \cdot 3 + 2$

Bước 12.2.1.4.4

Viết lại biểu thức.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{4} + 2$

Bước 12.2.1.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1.5.1

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $x$ .

$y = - \frac{5 \cdot x}{12} + \frac{- 5}{4} + 2$

Bước 12.2.1.5.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - \frac{5 x}{12} - \frac{5}{4} + 2$

Bước 12.2.2

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{5 x}{12} - \frac{5}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

Bước 12.2.3

Kết hợp $2$ và $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{5 x}{12} - \frac{5}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Bước 12.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{- 5 + 2 \cdot 4}{4}$

Bước 12.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.5.1

Nhân $2$ với $4$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{- 5 + 8}{4}$

Bước 12.2.5.2

Cộng $- 5$ và $8$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{3}{4}$

Bước 13

Hyperbol này có hai tiệm cận.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{13}{4}, y = - \frac{5 x}{12} + \frac{3}{4}$

Bước 14

Những giá trị này đại diện cho các giá trị quan trọng cho việc vẽ đồ thị và phân tích một hyperbol.

Tâm: $(- 3, 2)$

Các đỉnh: $(9, 2), (- 15, 2)$

Tiêu điểm: $(10, 2), (- 16, 2)$

Tâm sai: $\frac{13}{12}$

Tham số tiêu: $\frac{25}{13}$

Các đường tiệm cận: $y = \frac{5 x}{12} + \frac{13}{4}$ , $y = - \frac{5 x}{12} + \frac{3}{4}$

Bước 15