Giải tích sơ cấp Ví dụ

$x^{2} + 10 x + 41 + y^{2} - 8 y = 36$

Bước 1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa biến sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Trừ $41$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{2} + 10 x + y^{2} - 8 y = 36 - 41$

Bước 1.2

Trừ $41$ khỏi $36$ .

$x^{2} + 10 x + y^{2} - 8 y = - 5$

Bước 2

Hoàn thành bình phương cho $x^{2} + 10 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 1$

$b = 10$

$c = 0$

Bước 2.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 2.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{10}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $10$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $10$ .

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 (1)}$

Bước 2.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{5}{1}$

Bước 2.3.2.2.4

Chia $5$ cho $1$ .

$d = 5$

Bước 2.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{10^{2}}{4 \cdot 1}$

Bước 2.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1.1

Nâng $10$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{100}{4 \cdot 1}$

Bước 2.4.2.1.2

Nhân $4$ với $1$ .

$e = 0 - \frac{100}{4}$

Bước 2.4.2.1.3

Chia $100$ cho $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 25$

Bước 2.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $25$ .

$e = 0 - 25$

Bước 2.4.2.2

Trừ $25$ khỏi $0$ .

$e = - 25$

Bước 2.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh ${(x + 5)}^{2} - 25$ .

${(x + 5)}^{2} - 25$

Bước 3

Thay ${(x + 5)}^{2} - 25$ cho $x^{2} + 10 x$ trong phương trình $x^{2} + 10 x + y^{2} - 8 y = - 5$ .

${(x + 5)}^{2} - 25 + y^{2} - 8 y = - 5$

Bước 4

Di chuyển $- 25$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $25$ vào cả hai vế.

${(x + 5)}^{2} + y^{2} - 8 y = - 5 + 25$

Bước 5

Hoàn thành bình phương cho $y^{2} - 8 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 1$

$b = - 8$

$c = 0$

Bước 5.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 5.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 1}$

Bước 5.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 8$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Bước 5.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)}$

Bước 5.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Bước 5.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 4}{1}$

Bước 5.3.2.2.4

Chia $- 4$ cho $1$ .

$d = - 4$

Bước 5.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Nâng $- 8$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

Bước 5.4.2.1.2

Nhân $4$ với $1$ .

$e = 0 - \frac{64}{4}$

Bước 5.4.2.1.3

Chia $64$ cho $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Bước 5.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $16$ .

$e = 0 - 16$

Bước 5.4.2.2

Trừ $16$ khỏi $0$ .

$e = - 16$

Bước 5.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh ${(y - 4)}^{2} - 16$ .

${(y - 4)}^{2} - 16$

Bước 6

Thay ${(y - 4)}^{2} - 16$ cho $y^{2} - 8 y$ trong phương trình $x^{2} + 10 x + y^{2} - 8 y = - 5$ .

${(x + 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2} - 16 = - 5 + 25$

Bước 7

Di chuyển $- 16$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $16$ vào cả hai vế.

${(x + 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = - 5 + 25 + 16$

Bước 8

Rút gọn $- 5 + 25 + 16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Cộng $- 5$ và $25$ .

${(x + 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 20 + 16$

Bước 8.2

Cộng $20$ và $16$ .

${(x + 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 36$

Bước 9

Đây là dạng của một đường tròn. Sử dụng dạng này để xác định tâm và bán kính của đường tròn.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Bước 10

Tương ứng các giá trị trong đường tròn này với dạng chính tắc. Biến $r$ là bán kính của đường tròn, $h$ là khoảng cách theo trục x tính từ gốc tọa độ, và $k$ là khoảng cách theo trục y tính từ gốc tọa độ.

$r = 6$

$h = - 5$

$k = 4$

Bước 11

Tìm được tâm của đường tròn tại $(h, k)$ .

Tâm: $(- 5, 4)$

Bước 12

Những giá trị này đại diện cho các giá trị quan trọng cho việc vẽ đồ thị và phân tích một đường tròn.

Tâm: $(- 5, 4)$

Bán kính: $6$

Bước 13