Giải tích sơ cấp Ví dụ

$2 \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x) - 3 = 0$

Bước 1

Thay thế $2 \sec^{2} (x)$ bằng $2 (1 + \tan^{2} (x))$ dựa trên đẳng thức $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$2 (1 + \tan^{2} (x)) + \tan^{2} (x) - 3 = 0$

Bước 2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \cdot 1 + 2 \tan^{2} (x) + \tan^{2} (x) - 3 = 0$

Bước 2.2

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + 2 \tan^{2} (x) + \tan^{2} (x) - 3 = 0$

Bước 3

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Trừ $3$ khỏi $2$ .

$2 \tan^{2} (x) + \tan^{2} (x) - 1 = 0$

Bước 3.2

Cộng $2 \tan^{2} (x)$ và $\tan^{2} (x)$ .

$3 \tan^{2} (x) - 1 = 0$

Bước 4

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$3 \tan^{2} (x) = 1$

Bước 5

Chia mỗi số hạng trong $3 \tan^{2} (x) = 1$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chia mỗi số hạng trong $3 \tan^{2} (x) = 1$ cho $3$ .

$\frac{3 \tan^{2} (x)}{3} = \frac{1}{3}$

Bước 5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \tan^{2} (x)}{3} = \frac{1}{3}$

Bước 5.2.1.2

Chia $\tan^{2} (x)$ cho $1$ .

$\tan^{2} (x) = \frac{1}{3}$

Bước 6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Bước 7

Rút gọn $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết lại $\sqrt{\frac{1}{3}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Bước 7.2

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$\tan (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Bước 7.3

Nhân $\frac{1}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Bước 7.4

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Bước 7.4.2

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Bước 7.4.3

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Bước 7.4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Bước 7.4.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Bước 7.4.6

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 7.4.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 7.4.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 7.4.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 7.4.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Bước 7.4.6.5

Tính số mũ.

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Bước 8

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Bước 8.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Bước 8.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Bước 9

Lập từng đáp án để giải tìm $x$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Bước 10

Giải tìm $x$ trong $\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm tang.

$x = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Bước 10.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Giá trị chính xác của $\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ là $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Bước 10.3

Hàm tang dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy cộng góc tham chiếu từ $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = π + \frac{π}{6}$

Bước 10.4

Rút gọn $π + \frac{π}{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

Bước 10.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.2.1

Kết hợp $π$ và $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

Bước 10.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

Bước 10.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.3.1

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

Bước 10.4.3.2

Cộng $6 π$ và $π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Bước 10.5

Tìm chu kỳ của $\tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Bước 10.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{π}{| 1 |}$

Bước 10.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{π}{1}$

Bước 10.5.4

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 10.6

Chu kỳ của hàm $\tan (x)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 11

Giải tìm $x$ trong $\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm tang.

$x = \arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Bước 11.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Giá trị chính xác của $\arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ là $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Bước 11.3

Hàm tang âm trong góc phần tư thứ hai và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = - \frac{π}{6} - π$

Bước 11.4

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.1

Cộng $2 π$ vào $- \frac{π}{6} - π$ .

$x = - \frac{π}{6} - π + 2 π$

Bước 11.4.2

Góc tìm được $\frac{5 π}{6}$ dương và có cùng cạnh cuối với $- \frac{π}{6} - π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Bước 11.5

Tìm chu kỳ của $\tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Bước 11.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{π}{| 1 |}$

Bước 11.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{π}{1}$

Bước 11.5.4

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 11.6

Cộng $π$ vào mọi góc âm để có được các góc dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.6.1

Cộng $π$ vào $- \frac{π}{6}$ để tìm góc dương.

$- \frac{π}{6} + π$

Bước 11.6.2

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{6}{6}$ .

$π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Bước 11.6.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.6.3.1

Kết hợp $π$ và $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Bước 11.6.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Bước 11.6.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.6.4.1

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $π$ .

$\frac{6 \cdot π - π}{6}$

Bước 11.6.4.2

Trừ $π$ khỏi $6 π$ .

$\frac{5 π}{6}$

Bước 11.6.5

Liệt kê các góc mới.

$x = \frac{5 π}{6}$

Bước 11.7

Chu kỳ của hàm $\tan (x)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{5 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 12

Liệt kê tất cả các đáp án.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 13

Hợp nhất các đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Hợp nhất $\frac{π}{6} + π n$ và $\frac{7 π}{6} + π n$ để $\frac{π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 13.2

Hợp nhất $\frac{5 π}{6} + π n$ và $\frac{5 π}{6} + π n$ để $\frac{5 π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$