Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\sec (\arcsin (x - 1))$

Bước 1

Vẽ một hình tam giác trong mặt phẳng với các đỉnh $(\sqrt{1^{2} - {(x - 1)}^{2}}, x - 1)$ , $(\sqrt{1^{2} - {(x - 1)}^{2}}, 0)$ , và gốc tọa độ. Khi đó $\arcsin (x - 1)$ là góc giữa trục x dương và tia bắt đầu tại điểm gốc tọa độ và đi qua $(\sqrt{1^{2} - {(x - 1)}^{2}}, x - 1)$ . Do đó, $\sec (\arcsin (x - 1))$ là $\frac{1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Bước 2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1^{2} - {(x - 1)}^{2}}}$

Bước 2.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 1$ và $b = x - 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + x - 1) (1 - (x - 1))}}$

Bước 2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{(x + 0) (1 - (x - 1))}}$

Bước 2.3.2

Cộng $x$ và $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{x (1 - (x - 1))}}$

Bước 2.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{\sqrt{x (1 - x - - 1)}}$

Bước 2.3.4

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{x (1 - x + 1)}}$

Bước 2.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{x (- x + 2)}}$

Bước 3

Nhân $\frac{1}{\sqrt{x (- x + 2)}}$ với $\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{\sqrt{x (- x + 2)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{x (- x + 2)}} \cdot \frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{\sqrt{x (- x + 2)}}$

Bước 4

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{x (- x + 2)}}$ với $\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{\sqrt{x (- x + 2)}}$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{\sqrt{x (- x + 2)} \sqrt{x (- x + 2)}}$

Bước 4.2

Nâng $\sqrt{x (- x + 2)}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{\sqrt{x (- x + 2)}}^{1} \sqrt{x (- x + 2)}}$

Bước 4.3

Nâng $\sqrt{x (- x + 2)}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{\sqrt{x (- x + 2)}}^{1} {\sqrt{x (- x + 2)}}^{1}}$

Bước 4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{\sqrt{x (- x + 2)}}^{1 + 1}}$

Bước 4.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{\sqrt{x (- x + 2)}}^{2}}$

Bước 4.6

Viết lại ${\sqrt{x (- x + 2)}}^{2}$ ở dạng $x (- x + 2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x (- x + 2)}$ ở dạng ${(x (- x + 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{({(x (- x + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 4.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{(x (- x + 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 4.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{(x (- x + 2))}^{\frac{2}{2}}}$

Bước 4.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{(x (- x + 2))}^{\frac{2}{2}}}$

Bước 4.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{(x (- x + 2))}^{1}}$

Bước 4.6.5

Rút gọn.

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{x (- x + 2)}$

Bước 5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{x (- (x) + 2)}$

Bước 6

Viết lại $2$ ở dạng $- 1 (- 2)$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{x (- (x) - 1 (- 2))}$

Bước 7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{x (- (x - 2))}$

Bước 8

Viết lại các số âm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Viết lại $- (x - 2)$ ở dạng $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{x (- 1 (x - 2))}$

Bước 8.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{x (x - 2)}$