Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\sin (3 x) = - \frac{1}{2}$

Bước 1

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$3 x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Bước 2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (- \frac{1}{2})$ là $- \frac{π}{6}$ .

$3 x = - \frac{π}{6}$

Bước 3

Chia mỗi số hạng trong $3 x = - \frac{π}{6}$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Chia mỗi số hạng trong $3 x = - \frac{π}{6}$ cho $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{6}}{3}$

Bước 3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{6}}{3}$

Bước 3.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{3}$

Bước 3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Bước 3.3.2

Nhân $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{3 \cdot 6}$

Bước 3.3.2.2

Nhân $3$ với $6$ .

$x = - \frac{π}{18}$

Bước 4

Hàm sin âm trong góc phần tư thứ ba và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ đáp án khỏi $2 π$ , để tìm góc tham chiếu. Tiếp theo, cộng góc tham chiếu này vào $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$3 x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Bước 5

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Trừ $2 π$ khỏi $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$3 x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Bước 5.2

Góc tìm được $\frac{7 π}{6}$ dương, nhỏ hơn $2 π$ , và có chung cạnh cuối với $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$3 x = \frac{7 π}{6}$

Bước 5.3

Chia mỗi số hạng trong $3 x = \frac{7 π}{6}$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $3 x = \frac{7 π}{6}$ cho $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{6}}{3}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{6}}{3}$

Bước 5.3.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{3}$

Bước 5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Bước 5.3.3.2

Nhân $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.1

Nhân $\frac{7 π}{6}$ với $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 3}$

Bước 5.3.3.2.2

Nhân $6$ với $3$ .

$x = \frac{7 π}{18}$

Bước 6

Tìm chu kỳ của $\sin (3 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 6.2

Thay thế $b$ với $3$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Bước 6.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $3$ là $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Bước 7

Cộng $\frac{2 π}{3}$ vào mọi góc âm để có được các góc dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Cộng $\frac{2 π}{3}$ vào $- \frac{π}{18}$ để tìm góc dương.

$- \frac{π}{18} + \frac{2 π}{3}$

Bước 7.2

Để viết $\frac{2 π}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π}{3} \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{18}$

Bước 7.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $18$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Nhân $\frac{2 π}{3}$ với $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{3 \cdot 6} - \frac{π}{18}$

Bước 7.3.2

Nhân $3$ với $6$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{18} - \frac{π}{18}$

Bước 7.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{18}$

Bước 7.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Nhân $6$ với $2$ .

$\frac{12 π - π}{18}$

Bước 7.5.2

Trừ $π$ khỏi $12 π$ .

$\frac{11 π}{18}$

Bước 7.6

Liệt kê các góc mới.

$x = \frac{11 π}{18}$

Bước 8

Chu kỳ của hàm $\sin (3 x)$ là $\frac{2 π}{3}$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $\frac{2 π}{3}$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}, \frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}$ , cho mọi số nguyên $n$