Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\frac{x + 2}{x + 3} < \frac{x - 1}{x - 2}$

Bước 1

Trừ $\frac{x - 1}{x - 2}$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$\frac{x + 2}{x + 3} - \frac{x - 1}{x - 2} < 0$

Bước 2

Rút gọn $\frac{x + 2}{x + 3} - \frac{x - 1}{x - 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để viết $\frac{x + 2}{x + 3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x + 2}{x + 3} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x - 1}{x - 2} < 0$

Bước 2.2

Để viết $- \frac{x - 1}{x - 2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x + 2}{x + 3} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x - 1}{x - 2} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} < 0$

Bước 2.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $(x + 3) (x - 2)$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân $\frac{x + 2}{x + 3}$ với $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{x - 1}{x - 2} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} < 0$

Bước 2.3.2

Nhân $\frac{x - 1}{x - 2}$ với $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x - 2) (x + 3)} < 0$

Bước 2.3.3

Sắp xếp lại các thừa số của $(x - 2) (x + 3)$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Bước 2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{(x + 2) (x - 2) - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Bước 2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Khai triển $(x + 2) (x - 2)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x (x - 2) + 2 (x - 2) - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Bước 2.5.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2) - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Bước 2.5.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Bước 2.5.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $x \cdot - 2$ và $2 x$ .

$\frac{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Bước 2.5.2.2

Cộng $- 2 x$ và $2 x$ .

$\frac{x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Bước 2.5.2.3

Cộng $x \cdot x$ và $0$ .

$\frac{x \cdot x + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Bước 2.5.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.3.1

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Bước 2.5.3.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 4 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Bước 2.5.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x^{2} - 4 + (- x - - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Bước 2.5.5

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 4 + (- x + 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Bước 2.5.6

Khai triển $(- x + 1) (x + 3)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x^{2} - 4 - x (x + 3) + 1 (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Bước 2.5.6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x^{2} - 4 - x \cdot x - x \cdot 3 + 1 (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Bước 2.5.6.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x^{2} - 4 - x \cdot x - x \cdot 3 + 1 x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Bước 2.5.7

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.7.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.7.1.1

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.7.1.1.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 - (x \cdot x) - x \cdot 3 + 1 x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Bước 2.5.7.1.1.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - x \cdot 3 + 1 x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Bước 2.5.7.1.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 3 x + 1 x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Bước 2.5.7.1.3

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 3 x + x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Bước 2.5.7.1.4

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 3 x + x + 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Bước 2.5.7.2

Cộng $- 3 x$ và $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 2 x + 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Bước 2.5.8

Trừ $x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$\frac{0 - 4 - 2 x + 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Bước 2.5.9

Trừ $4$ khỏi $0$ .

$\frac{- 4 - 2 x + 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Bước 2.5.10

Cộng $- 4$ và $3$ .

$\frac{- 2 x - 1}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Bước 2.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 x$ .

$\frac{- (2 x) - 1}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Bước 2.7

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x) - 1 (1)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Bước 2.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (2 x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x + 1)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Bước 2.9

Viết lại $- (2 x + 1)$ ở dạng $- 1 (2 x + 1)$ .

$\frac{- 1 (2 x + 1)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Bước 2.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2 x + 1}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Bước 3

Tìm tất cả các giá trị mà tại đó biểu thức chuyển từ âm sang dương bằng cách đặt từng thừa số bằng $0$ và giải.

$2 x + 1 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Bước 4

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 x = - 1$

Bước 5

Chia mỗi số hạng trong $2 x = - 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = - 1$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Bước 5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Bước 5.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Bước 5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{1}{2}$

Bước 6

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 3$

Bước 7

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Bước 8

Giải tìm từng thừa số để tìm các giá trị mà giá trị tuyệt đối của biểu thức đi từ âm sang dương.

$x = - \frac{1}{2}$

$x = - 3$

$x = 2$

Bước 9

Hợp nhất các đáp án.

$x = - \frac{1}{2}, - 3, 2$

Bước 10

Tìm tập xác định của $- \frac{2 x + 1}{(x + 3) (x - 2)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Đặt mẫu số trong $\frac{2 x + 1}{(x + 3) (x - 2)}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$(x + 3) (x - 2) = 0$

Bước 10.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Bước 10.2.2

Đặt $x + 3$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.1

Đặt $x + 3$ bằng với $0$ .

$x + 3 = 0$

Bước 10.2.2.2

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 3$

Bước 10.2.3

Đặt $x - 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.1

Đặt $x - 2$ bằng với $0$ .

$x - 2 = 0$

Bước 10.2.3.2

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Bước 10.2.4

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(x + 3) (x - 2) = 0$ đúng.

$x = - 3, 2$

Bước 10.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 2) \cup (2, \infty)$

Bước 11

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < - 3$

$- 3 < x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < 2$

$x > 2$

Bước 12

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < - 3$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < - 3$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 6$

Bước 12.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 6$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{(- 6) + 2}{(- 6) + 3} < \frac{(- 6) - 1}{(- 6) - 2}$

Bước 12.1.3

Vế trái $1.\overline{3}$ không nhỏ hơn vế phải $0.875$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 12.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 3 < x < - \frac{1}{2}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 3 < x < - \frac{1}{2}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 2$

Bước 12.2.2

Thay thế $x$ bằng $- 2$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{(- 2) + 2}{(- 2) + 3} < \frac{(- 2) - 1}{(- 2) - 2}$

Bước 12.2.3

Vế trái $0$ nhỏ hơn vế phải $0.75$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 12.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- \frac{1}{2} < x < 2$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- \frac{1}{2} < x < 2$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0$

Bước 12.3.2

Thay thế $x$ bằng $0$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{(0) + 2}{(0) + 3} < \frac{(0) - 1}{(0) - 2}$

Bước 12.3.3

Vế trái $0.\overline{6}$ không nhỏ hơn vế phải $0.5$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 12.4

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 2$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 2$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 4$

Bước 12.4.2

Thay thế $x$ bằng $4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{(4) + 2}{(4) + 3} < \frac{(4) - 1}{(4) - 2}$

Bước 12.4.3

Vế trái $0.\overline{857142}$ nhỏ hơn vế phải $1.5$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 12.5

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < - 3$ Sai

$- 3 < x < - \frac{1}{2}$ Đúng

$- \frac{1}{2} < x < 2$ Sai

$x > 2$ Đúng

$x < - 3$ Sai

$- 3 < x < - \frac{1}{2}$ Đúng

$- \frac{1}{2} < x < 2$ Sai

$x > 2$ Đúng

Bước 13

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$- 3 < x < - \frac{1}{2}$ hoặc $x > 2$

Bước 14

Quy đổi bất đẳng thức sang ký hiệu khoảng.

$(- 3, - \frac{1}{2}) \cup (2, \infty)$

Bước 15