Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{4} x$

Bước 1

Xét công thức tỉ sai phân.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Bước 2

Tìm của thành phần của định nghĩa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính hàm số tại $x = x + h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $x + h$ trong biểu thức.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot {(x + h)}^{2} + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

Bước 2.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.1

Viết lại ${(x + h)}^{2}$ ở dạng $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot ((x + h) (x + h)) + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

Bước 2.1.2.1.2

Khai triển $(x + h) (x + h)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x (x + h) + h (x + h)) + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

Bước 2.1.2.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x h + h (x + h)) + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

Bước 2.1.2.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

Bước 2.1.2.1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.3.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

Bước 2.1.2.1.3.1.2

Nhân $h$ với $h$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

Bước 2.1.2.1.3.2

Cộng $x h$ và $h x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.3.2.1

Sắp xếp lại $x$ và $h$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

Bước 2.1.2.1.3.2.2

Cộng $h x$ và $h x$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

Bước 2.1.2.1.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x + h) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 h x) + \frac{1}{2} h^{2} + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

Bước 2.1.2.1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.5.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 h x) + \frac{1}{2} h^{2} + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

Bước 2.1.2.1.5.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 h x$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (h x)) + \frac{1}{2} h^{2} + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

Bước 2.1.2.1.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (h x)) + \frac{1}{2} h^{2} + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

Bước 2.1.2.1.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{1}{2} h^{2} + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

Bước 2.1.2.1.5.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $h^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

Bước 2.1.2.1.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} h$

Bước 2.1.2.1.7

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{x}{4} + \frac{1}{4} h$

Bước 2.1.2.1.8

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $h$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{x}{4} + \frac{h}{4}$

Bước 2.1.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{x}{4} + \frac{h}{4}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{x}{4} + \frac{h}{4}$

Bước 2.2

Sắp xếp lại.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Di chuyển $\frac{x}{4}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4}$

Bước 2.2.2

Di chuyển $\frac{x^{2}}{2}$ .

$h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4}$

Bước 2.2.3

Sắp xếp lại $h x$ và $\frac{h^{2}}{2}$ .

$\frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4}$

Bước 2.3

Tìm của thành phần của định nghĩa.

$f (x + h) = \frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4}$

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{4}$

$f (x + h) = \frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4}$

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{4}$

Bước 3

Điền vào các thành phần.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4} - (\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{4})}{h}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

Bước 4.1.2

Sắp xếp lại các thừa số của $h x$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + x h + \frac{x^{2}}{2} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

Bước 4.1.3

Để viết $x h$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} + x h \cdot \frac{4}{4} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

Bước 4.1.4

Kết hợp $x h$ và $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x h \cdot 4}{4} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

Bước 4.1.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x h \cdot 4 + h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

Bước 4.1.6

Để viết $\frac{h^{2}}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{2} + \frac{h^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x h \cdot 4 + h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

Bước 4.1.7

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $4$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.7.1

Nhân $\frac{h^{2}}{2}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{2} + \frac{h^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{x h \cdot 4 + h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

Bước 4.1.7.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{2} + \frac{h^{2} \cdot 2}{4} + \frac{x h \cdot 4 + h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

Bước 4.1.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{x^{2}}{2} + \frac{h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

Bước 4.1.9

Để viết $\frac{x^{2}}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

Bước 4.1.10

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $4$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.10.1

Nhân $\frac{x^{2}}{2}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{x^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

Bước 4.1.10.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{\frac{x^{2} \cdot 2}{4} + \frac{h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

Bước 4.1.11

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{x^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

Bước 4.1.12

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{x^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

Bước 4.1.13

Để viết $- \frac{x^{2}}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{x^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + x}{4} - \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

Bước 4.1.14

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $4$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.14.1

Nhân $\frac{x^{2}}{2}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{x^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + x}{4} - \frac{x^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{x}{4}}{h}$

Bước 4.1.14.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{\frac{x^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + x}{4} - \frac{x^{2} \cdot 2}{4} - \frac{x}{4}}{h}$

Bước 4.1.15

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{x^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + x - x^{2} \cdot 2}{4} - \frac{x}{4}}{h}$

Bước 4.1.16

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{x^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + x - x^{2} \cdot 2 - x}{4}}{h}$

Bước 4.1.17

Viết lại $\frac{x^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + x - x^{2} \cdot 2 - x}{4}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.17.1

Trừ $x^{2} \cdot 2$ khỏi $x^{2} \cdot 2$ .

$\frac{\frac{h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + x + 0 - x}{4}}{h}$

Bước 4.1.17.2

Cộng $h^{2} \cdot 2$ và $0$ .

$\frac{\frac{h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + x - x}{4}}{h}$

Bước 4.1.17.3

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$\frac{\frac{h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + 0}{4}}{h}$

Bước 4.1.17.4

Cộng $h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h$ và $0$ .

$\frac{\frac{h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h}{4}}{h}$

Bước 4.1.17.5

Đưa $h$ ra ngoài $h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.17.5.1

Đưa $h$ ra ngoài $h^{2} \cdot 2$ .

$\frac{\frac{h (h \cdot 2) + x (h) \cdot 4 + h}{4}}{h}$

Bước 4.1.17.5.2

Đưa $h$ ra ngoài $x h \cdot 4$ .

$\frac{\frac{h (h \cdot 2) + h (x \cdot 4) + h}{4}}{h}$

Bước 4.1.17.5.3

Nâng $h$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{h (h \cdot 2) + h (x \cdot 4) + h^{1}}{4}}{h}$

Bước 4.1.17.5.4

Đưa $h$ ra ngoài $h^{1}$ .

$\frac{\frac{h (h \cdot 2) + h (x \cdot 4) + h \cdot 1}{4}}{h}$

Bước 4.1.17.5.5

Đưa $h$ ra ngoài $h (h \cdot 2) + h (x \cdot 4)$ .

$\frac{\frac{h (h \cdot 2 + x \cdot 4) + h \cdot 1}{4}}{h}$

Bước 4.1.17.5.6

Đưa $h$ ra ngoài $h (h \cdot 2 + x \cdot 4) + h \cdot 1$ .

$\frac{\frac{h (h \cdot 2 + x \cdot 4 + 1)}{4}}{h}$

Bước 4.1.17.6

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $h$ .

$\frac{\frac{h (2 \cdot h + x \cdot 4 + 1)}{4}}{h}$

Bước 4.1.17.7

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{\frac{h (2 h + 4 x + 1)}{4}}{h}$

Bước 4.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{h (2 h + 4 x + 1)}{4} \cdot \frac{1}{h}$

Bước 4.3

Triệt tiêu thừa số chung $h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{h (2 h + 4 x + 1)}{4} \cdot \frac{1}{h}$

Bước 4.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 h + 4 x + 1}{4}$

Bước 5