Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}}$

Bước 1

Xét công thức tỉ sai phân.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Bước 2

Tìm của thành phần của định nghĩa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính hàm số tại $x = x + h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $x + h$ trong biểu thức.

$f (x + h) = \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 (x + h)}}$

Bước 2.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x + h) = \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}$

Bước 2.1.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}$ .

$\frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}$

Bước 2.2

Tìm của thành phần của định nghĩa.

$f (x + h) = \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}$

$f (x) = \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}}$

$f (x + h) = \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}$

$f (x) = \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}}$

Bước 3

Điền vào các thành phần.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}} - (\frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}})}{h}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Để viết $\frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{1 + 9 e^{- 3 x}}{1 + 9 e^{- 3 x}}$ .

$\frac{\frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}} \cdot \frac{1 + 9 e^{- 3 x}}{1 + 9 e^{- 3 x}} - \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}}}{h}$

Bước 4.1.2

Để viết $- \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}$ .

$\frac{\frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}} \cdot \frac{1 + 9 e^{- 3 x}}{1 + 9 e^{- 3 x}} - \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}} \cdot \frac{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}}{h}$

Bước 4.1.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Nhân $\frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}$ với $\frac{1 + 9 e^{- 3 x}}{1 + 9 e^{- 3 x}}$ .

$\frac{\frac{20 (1 + 9 e^{- 3 x})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})} - \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}} \cdot \frac{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}}{h}$

Bước 4.1.3.2

Nhân $\frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}}$ với $\frac{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}$ .

$\frac{\frac{20 (1 + 9 e^{- 3 x})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})} - \frac{20 (1 + 9 e^{- 3 x - 3 h})}{(1 + 9 e^{- 3 x}) (1 + 9 e^{- 3 x - 3 h})}}{h}$

Bước 4.1.3.3

Sắp xếp lại các thừa số của $(1 + 9 e^{- 3 x}) (1 + 9 e^{- 3 x - 3 h})$ .

$\frac{\frac{20 (1 + 9 e^{- 3 x})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})} - \frac{20 (1 + 9 e^{- 3 x - 3 h})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

Bước 4.1.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{20 (1 + 9 e^{- 3 x}) - 20 (1 + 9 e^{- 3 x - 3 h})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

Bước 4.1.5

Viết lại $\frac{20 (1 + 9 e^{- 3 x}) - 20 (1 + 9 e^{- 3 x - 3 h})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.1

Đưa $20$ ra ngoài $20 (1 + 9 e^{- 3 x}) - 20 (1 + 9 e^{- 3 x - 3 h})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.1.1

Đưa $20$ ra ngoài $- 20 (1 + 9 e^{- 3 x - 3 h})$ .

$\frac{\frac{20 (1 + 9 e^{- 3 x}) + 20 (- (1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

Bước 4.1.5.1.2

Đưa $20$ ra ngoài $20 (1 + 9 e^{- 3 x}) + 20 (- (1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}))$ .

$\frac{\frac{20 (1 + 9 e^{- 3 x} - (1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

Bước 4.1.5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\frac{20 (1 + 9 e^{- 3 x} - 1 \cdot 1 - (9 e^{- 3 x - 3 h}))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

Bước 4.1.5.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{\frac{20 (1 + 9 e^{- 3 x} - 1 - (9 e^{- 3 x - 3 h}))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

Bước 4.1.5.4

Nhân $9$ với $- 1$ .

$\frac{\frac{20 (1 + 9 e^{- 3 x} - 1 - 9 e^{- 3 x - 3 h})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

Bước 4.1.5.5

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{\frac{20 (9 e^{- 3 x} + 0 - 9 e^{- 3 x - 3 h})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

Bước 4.1.5.6

Cộng $9 e^{- 3 x}$ và $0$ .

$\frac{\frac{20 (9 e^{- 3 x} - 9 e^{- 3 x - 3 h})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

Bước 4.1.5.7

Viết lại $9 e^{- 3 x} - 9 e^{- 3 x - 3 h}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.7.1

Đưa $9$ ra ngoài $9 e^{- 3 x} - 9 e^{- 3 x - 3 h}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.7.1.1

Đưa $9$ ra ngoài $9 e^{- 3 x}$ .

$\frac{\frac{20 (9 (e^{- 3 x}) - 9 e^{- 3 x - 3 h})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

Bước 4.1.5.7.1.2

Đưa $9$ ra ngoài $- 9 e^{- 3 x - 3 h}$ .

$\frac{\frac{20 (9 (e^{- 3 x}) + 9 (- e^{- 3 x - 3 h}))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

Bước 4.1.5.7.1.3

Đưa $9$ ra ngoài $9 (e^{- 3 x}) + 9 (- e^{- 3 x - 3 h})$ .

$\frac{\frac{20 (9 (e^{- 3 x} - e^{- 3 x - 3 h}))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

Bước 4.1.5.7.2

Viết lại $e^{- 3 x}$ ở dạng ${(e^{- x})}^{3}$ .

$\frac{\frac{20 (9 ({(e^{- x})}^{3} - e^{- 3 x - 3 h}))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

Bước 4.1.5.7.3

Viết lại $e^{- 3 x - 3 h}$ ở dạng ${(e^{- x - h})}^{3}$ .

$\frac{\frac{20 (9 ({(e^{- x})}^{3} - {(e^{- x - h})}^{3}))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

Bước 4.1.5.7.4

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai lập phương, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ trong đó $a = e^{- x}$ và $b = e^{- x - h}$ .

$\frac{\frac{20 (9 ((e^{- x} - e^{- x - h}) ({(e^{- x})}^{2} + e^{- x} e^{- x - h} + {(e^{- x - h})}^{2})))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

Bước 4.1.5.7.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.7.5.1

Nhân các số mũ trong ${(e^{- x})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.7.5.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{20 (9 ((e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- x \cdot 2} + e^{- x} e^{- x - h} + {(e^{- x - h})}^{2})))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

Bước 4.1.5.7.5.1.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{\frac{20 (9 ((e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- x} e^{- x - h} + {(e^{- x - h})}^{2})))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

Bước 4.1.5.7.5.2

Nhân $e^{- x}$ với $e^{- x - h}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.7.5.2.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{20 (9 ((e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- x - x - h} + {(e^{- x - h})}^{2})))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

Bước 4.1.5.7.5.2.2

Trừ $x$ khỏi $- x$ .

$\frac{\frac{20 (9 ((e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- 2 x - h} + {(e^{- x - h})}^{2})))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

Bước 4.1.5.7.5.3

Nhân các số mũ trong ${(e^{- x - h})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.7.5.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{20 (9 ((e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- 2 x - h} + e^{(- x - h) \cdot 2})))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

Bước 4.1.5.7.5.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\frac{20 (9 ((e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- 2 x - h} + e^{- x \cdot 2 - h \cdot 2})))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

Bước 4.1.5.7.5.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{\frac{20 (9 ((e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- 2 x - h} + e^{- 2 x - h \cdot 2})))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

Bước 4.1.5.7.5.3.4

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{\frac{20 (9 ((e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- 2 x - h} + e^{- 2 x - 2 h})))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

$\frac{\frac{20 (9 (e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- 2 x - h} + e^{- 2 x - 2 h}))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

$\frac{\frac{20 \cdot 9 (e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- 2 x - h} + e^{- 2 x - 2 h})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

Bước 4.1.5.8

Nhân $20$ với $9$ .

$\frac{\frac{180 (e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- 2 x - h} + e^{- 2 x - 2 h})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

Bước 4.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{180 (e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- 2 x - h} + e^{- 2 x - 2 h})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})} \cdot \frac{1}{h}$

Bước 4.3

Kết hợp.

$\frac{180 (e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- 2 x - h} + e^{- 2 x - 2 h}) \cdot 1}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x}) h}$

Bước 4.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Nhân $180$ với $1$ .

$\frac{180 (e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- 2 x - h} + e^{- 2 x - 2 h})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x}) h}$

Bước 4.4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{180 (e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- 2 x - h} + e^{- 2 x - 2 h})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x}) h}$ .

$\frac{180 (e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- 2 x - h} + e^{- 2 x - 2 h})}{h (1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}$

Bước 5