Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = e^{x - 1} + 3$ , $[1, 5]$

Bước 1

Viết $f (x) = e^{x - 1} + 3$ ở dạng một phương trình.

$y = e^{x - 1} + 3$

Bước 2

Thay bằng công thức tốc độ biến thiên trung bình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Có thể tìm tốc độ biến thiên trung bình của một hàm số bằng cách tính sự thay đổi trong giá trị $y$ của hai điểm chia cho sự thay đổi trong giá trị $x$ của hai điểm.

$\frac{f (5) - f (1)}{(5) - (1)}$

Bước 2.2

Thay phương trình $y = e^{x - 1} + 3$ cho $f (5)$ và $f (1)$ , thay $x$ trong hàm bằng giá trị $x$ tương ứng.

$\frac{(e^{(5) - 1} + 3) - (e^{(1) - 1} + 3)}{(5) - (1)}$

Bước 3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Trừ $1$ khỏi $5$ .

$\frac{e^{4} + 3 - (e^{1 - 1} + 3)}{5 - (1)}$

Bước 3.1.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{e^{4} + 3 - (e^{0} + 3)}{5 - (1)}$

Bước 3.1.2.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\frac{e^{4} + 3 - (1 + 3)}{5 - (1)}$

Bước 3.1.3

Cộng $1$ và $3$ .

$\frac{e^{4} + 3 - 1 \cdot 4}{5 - (1)}$

Bước 3.1.4

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\frac{e^{4} + 3 - 4}{5 - (1)}$

Bước 3.1.5

Trừ $4$ khỏi $3$ .

$\frac{e^{4} - 1}{5 - (1)}$

Bước 3.1.6

Viết lại $e^{4} - 1$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.6.1

Viết lại $e^{4}$ ở dạng ${(e^{2})}^{2}$ .

$\frac{{(e^{2})}^{2} - 1}{5 - (1)}$

Bước 3.1.6.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{{(e^{2})}^{2} - 1^{2}}{5 - (1)}$

Bước 3.1.6.3

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = e^{2}$ và $b = 1$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e^{2} - 1)}{5 - (1)}$

Bước 3.1.6.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.6.4.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e^{2} - 1^{2})}{5 - (1)}$

Bước 3.1.6.4.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = e$ và $b = 1$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{5 - (1)}$

Bước 3.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{5 - 1}$

Bước 3.2.2

Trừ $1$ khỏi $5$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{4}$