Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = \frac{3}{x^{3}}$

Bước 1

Xét công thức tỉ sai phân.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Bước 2

Tìm của thành phần của định nghĩa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính hàm số tại $x = x + h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $x + h$ trong biểu thức.

$f (x + h) = \frac{3}{{(x + h)}^{3}}$

Bước 2.1.2

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{3}{{(x + h)}^{3}}$ .

$\frac{3}{{(x + h)}^{3}}$

Bước 2.2

Tìm của thành phần của định nghĩa.

$f (x + h) = \frac{3}{{(x + h)}^{3}}$

$f (x) = \frac{3}{x^{3}}$

$f (x + h) = \frac{3}{{(x + h)}^{3}}$

$f (x) = \frac{3}{x^{3}}$

Bước 3

Điền vào các thành phần.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{3}{{(x + h)}^{3}} - (\frac{3}{x^{3}})}{h}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Để viết $\frac{3}{{(x + h)}^{3}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$\frac{\frac{3}{{(x + h)}^{3}} \cdot \frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{3}{x^{3}}}{h}$

Bước 4.1.2

Để viết $- \frac{3}{x^{3}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}$ .

$\frac{\frac{3}{{(x + h)}^{3}} \cdot \frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{3}{x^{3}} \cdot \frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}}{h}$

Bước 4.1.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là ${(x + h)}^{3} x^{3}$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Nhân $\frac{3}{{(x + h)}^{3}}$ với $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$\frac{\frac{3 x^{3}}{{(x + h)}^{3} x^{3}} - \frac{3}{x^{3}} \cdot \frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}}{h}$

Bước 4.1.3.2

Nhân $\frac{3}{x^{3}}$ với $\frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}$ .

$\frac{\frac{3 x^{3}}{{(x + h)}^{3} x^{3}} - \frac{3 {(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Bước 4.1.3.3

Sắp xếp lại các thừa số của ${(x + h)}^{3} x^{3}$ .

$\frac{\frac{3 x^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}} - \frac{3 {(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Bước 4.1.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{3 x^{3} - 3 {(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Bước 4.1.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 x^{3} - 3 {(x + h)}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 x^{3}$ .

$\frac{\frac{3 (x^{3}) - 3 {(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Bước 4.1.5.1.2

Đưa $3$ ra ngoài $- 3 {(x + h)}^{3}$ .

$\frac{\frac{3 (x^{3}) + 3 (- {(x + h)}^{3})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Bước 4.1.5.1.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 (x^{3}) + 3 (- {(x + h)}^{3})$ .

$\frac{\frac{3 (x^{3} - {(x + h)}^{3})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Bước 4.1.5.2

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai lập phương, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ trong đó $a = x$ và $b = x + h$ .

$\frac{\frac{3 ((x - (x + h)) (x^{2} + x (x + h) + {(x + h)}^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Bước 4.1.5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\frac{3 ((x - x - h) (x^{2} + x (x + h) + {(x + h)}^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Bước 4.1.5.3.2

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$\frac{\frac{3 ((0 - h) (x^{2} + x (x + h) + {(x + h)}^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Bước 4.1.5.3.3

Trừ $h$ khỏi $0$ .

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x (x + h) + {(x + h)}^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Bước 4.1.5.3.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x \cdot x + x h + {(x + h)}^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Bước 4.1.5.3.5

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + {(x + h)}^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Bước 4.1.5.3.6

Viết lại ${(x + h)}^{2}$ ở dạng $(x + h) (x + h)$ .

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + (x + h) (x + h)))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Bước 4.1.5.3.7

Khai triển $(x + h) (x + h)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.3.7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x (h) + x (x + h) + h (x + h)))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Bước 4.1.5.3.7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x (h) + x \cdot x + x (h) + h (x + h)))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Bước 4.1.5.3.7.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Bước 4.1.5.3.8

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.3.8.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.3.8.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + x^{2} + x h + h x + h \cdot h))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Bước 4.1.5.3.8.1.2

Nhân $h$ với $h$ .

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + x^{2} + x h + h x + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Bước 4.1.5.3.8.2

Cộng $x h$ và $h x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.3.8.2.1

Sắp xếp lại $h$ và $x$ .

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + x^{2} + x h + x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Bước 4.1.5.3.8.2.2

Cộng $x h$ và $x h$ .

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + x^{2} + 2 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Bước 4.1.5.3.9

Cộng $x^{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{\frac{3 (- h (2 x^{2} + x h + x^{2} + 2 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Bước 4.1.5.3.10

Cộng $2 x^{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{\frac{3 (- h (3 x^{2} + x h + 2 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Bước 4.1.5.3.11

Cộng $x h$ và $2 x h$ .

$\frac{\frac{3 (- h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

$\frac{\frac{3 \cdot - 1 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Bước 4.1.5.4

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.4.1

Đưa dấu âm ra ngoài.

$\frac{\frac{- (3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Bước 4.1.5.4.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{\frac{- 3 (h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

$\frac{\frac{- 3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Bước 4.1.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{- \frac{3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Bước 4.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$- \frac{3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}} \cdot \frac{1}{h}$

Bước 4.3

Triệt tiêu thừa số chung $h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}$ vào tử số.

$\frac{- 3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}} \cdot \frac{1}{h}$

Bước 4.3.2

Đưa $h$ ra ngoài $- 3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})$ .

$\frac{h (- 3 (3 x^{2} + 3 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}} \cdot \frac{1}{h}$

Bước 4.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{h (- 3 (3 x^{2} + 3 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}} \cdot \frac{1}{h}$

Bước 4.3.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 3 (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}$

Bước 4.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{3 (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}$

Bước 5