Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$ , $1 \leq x \leq 3$

Bước 1

Viết $f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$ ở dạng một phương trình.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$

Bước 2

Thay bằng công thức tốc độ biến thiên trung bình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Có thể tìm tốc độ biến thiên trung bình của một hàm số bằng cách tính sự thay đổi trong giá trị $y$ của hai điểm chia cho sự thay đổi trong giá trị $x$ của hai điểm.

$\frac{f (3) - f (1)}{(3) - (1)}$

Bước 2.2

Thay phương trình $y = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$ cho $f (3)$ và $f (1)$ , thay $x$ trong hàm bằng giá trị $x$ tương ứng.

$\frac{(\frac{\sqrt{{(3)}^{2} - 1}}{3}) - (\frac{\sqrt{{(1)}^{2} - 1}}{1})}{(3) - (1)}$

Bước 3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Chia $\sqrt{{(1)}^{2} - 1}$ cho $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{{(3)}^{2} - 1}}{3} - \sqrt{{(1)}^{2} - 1}}{(3) - (1)}$

Bước 3.2

Nhân tử số và mẫu số của phân số với $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nhân $\frac{\frac{\sqrt{3^{2} - 1}}{3} - \sqrt{1^{2} - 1}}{3 - (1)}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{\sqrt{3^{2} - 1}}{3} - \sqrt{1^{2} - 1}}{3 - (1)}$

Bước 3.2.2

Kết hợp.

$\frac{3 (\frac{\sqrt{3^{2} - 1}}{3} - \sqrt{1^{2} - 1})}{3 (3 - (1))}$

Bước 3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 \frac{\sqrt{3^{2} - 1}}{3} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Bước 3.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \frac{\sqrt{3^{2} - 1}}{3} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Bước 3.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt{3^{2} - 1} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Bước 3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{\sqrt{9 - 1} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Bước 3.5.2

Trừ $1$ khỏi $9$ .

$\frac{\sqrt{8} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Bước 3.5.3

Viết lại $8$ ở dạng $2^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$\frac{\sqrt{4 (2)} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Bước 3.5.3.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Bước 3.5.4

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{2 \sqrt{2} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Bước 3.5.5

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{2 \sqrt{2} + 3 (- \sqrt{1 - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Bước 3.5.6

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 3 (- \sqrt{0})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Bước 3.5.7

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 3 (- \sqrt{0^{2}})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Bước 3.5.8

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{2 \sqrt{2} + 3 (- 0)}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Bước 3.5.9

Nhân $3 (- 0)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.9.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 3 \cdot 0}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Bước 3.5.9.2

Nhân $3$ với $0$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 0}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Bước 3.5.10

Cộng $2 \sqrt{2}$ và $0$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Bước 3.6

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{9 + 3 (- (1))}$

Bước 3.6.2

Nhân $3 (- (1))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{9 + 3 \cdot - 1}$

Bước 3.6.2.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{9 - 3}$

Bước 3.6.3

Trừ $3$ khỏi $9$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{6}$

Bước 3.7

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (\sqrt{2})}{6}$

Bước 3.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt{2}}{3}$

Bước 4

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{\sqrt{2}}{3}$

Dạng thập phân:

$0.47140452 \dots$