Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = x^{2} - \frac{1}{x} - 3$ for $1 \leq x \leq 3$

Bước 1

Viết $f (x) = x^{2} - \frac{1}{x} - 3$ ở dạng một phương trình.

$y = x^{2} - \frac{1}{x} - 3$

Bước 2

Thay bằng công thức tốc độ biến thiên trung bình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Có thể tìm tốc độ biến thiên trung bình của một hàm số bằng cách tính sự thay đổi trong giá trị $y$ của hai điểm chia cho sự thay đổi trong giá trị $x$ của hai điểm.

$\frac{f (3) - f (1)}{(3) - (1)}$

Bước 2.2

Thay phương trình $y = x^{2} - \frac{1}{x} - 3$ cho $f (3)$ và $f (1)$ , thay $x$ trong hàm bằng giá trị $x$ tương ứng.

$\frac{({(3)}^{2} - \frac{1}{3} - 3) - ({(1)}^{2} - \frac{1}{1} - 3)}{(3) - (1)}$

Bước 3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Triệt tiêu thừa số chung $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{{(3)}^{2} - \frac{1}{3} - 3 - ({(1)}^{2} - \frac{1}{1} - 3)}{(3) - (1)}$

Bước 3.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{{(3)}^{2} - \frac{1}{3} - 3 - ({(1)}^{2} - 1 \cdot 1 - 3)}{(3) - (1)}$

Bước 3.2

Nhân tử số và mẫu số của phân số với $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nhân $\frac{3^{2} - \frac{1}{3} - 3 - (1^{2} - 1 \cdot 1 - 3)}{3 - (1)}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{3} \cdot \frac{3^{2} - \frac{1}{3} - 3 - (1^{2} - 1 \cdot 1 - 3)}{3 - (1)}$

Bước 3.2.2

Kết hợp.

$\frac{3 (3^{2} - \frac{1}{3} - 3 - (1^{2} - 1 \cdot 1 - 3))}{3 (3 - (1))}$

Bước 3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 \cdot 3^{2} + 3 (- \frac{1}{3}) + 3 \cdot - 3 + 3 (- (1^{2} - 1 \cdot 1 - 3))}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Bước 3.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{3}$ vào tử số.

$\frac{3 \cdot 3^{2} + 3 (\frac{- 1}{3}) + 3 \cdot - 3 + 3 (- (1^{2} - 1 \cdot 1 - 3))}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Bước 3.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot 3^{2} + 3 (\frac{- 1}{3}) + 3 \cdot - 3 + 3 (- (1^{2} - 1 \cdot 1 - 3))}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Bước 3.4.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 \cdot 3^{2} - 1 + 3 \cdot - 3 + 3 (- (1^{2} - 1 \cdot 1 - 3))}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Bước 3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Nhân $3$ với $3^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.1

Nhân $3$ với $3^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.1.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{3^{1} \cdot 3^{2} - 1 + 3 \cdot - 3 + 3 (- (1^{2} - 1 \cdot 1 - 3))}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Bước 3.5.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{3^{1 + 2} - 1 + 3 \cdot - 3 + 3 (- (1^{2} - 1 \cdot 1 - 3))}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Bước 3.5.1.2

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{3^{3} - 1 + 3 \cdot - 3 + 3 (- (1^{2} - 1 \cdot 1 - 3))}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Bước 3.5.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{27 - 1 + 3 \cdot - 3 + 3 (- (1^{2} - 1 \cdot 1 - 3))}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Bước 3.5.3

Nhân $3$ với $- 3$ .

$\frac{27 - 1 - 9 + 3 (- (1^{2} - 1 \cdot 1 - 3))}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Bước 3.5.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.4.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{27 - 1 - 9 + 3 (- (1 - 1 \cdot 1 - 3))}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Bước 3.5.4.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{27 - 1 - 9 + 3 (- (1 - 1 - 3))}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Bước 3.5.5

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{27 - 1 - 9 + 3 (- (0 - 3))}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Bước 3.5.6

Trừ $3$ khỏi $0$ .

$\frac{27 - 1 - 9 + 3 (- - 3)}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Bước 3.5.7

Nhân $3 (- - 3)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.1

Nhân $- 1$ với $- 3$ .

$\frac{27 - 1 - 9 + 3 \cdot 3}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Bước 3.5.7.2

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{27 - 1 - 9 + 9}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Bước 3.5.8

Trừ $1$ khỏi $27$ .

$\frac{26 - 9 + 9}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Bước 3.5.9

Trừ $9$ khỏi $26$ .

$\frac{17 + 9}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Bước 3.5.10

Cộng $17$ và $9$ .

$\frac{26}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Bước 3.6

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{26}{9 + 3 (- (1))}$

Bước 3.6.2

Nhân $3 (- (1))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{26}{9 + 3 \cdot - 1}$

Bước 3.6.2.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{26}{9 - 3}$

Bước 3.6.3

Trừ $3$ khỏi $9$ .

$\frac{26}{6}$

Bước 3.7

Triệt tiêu thừa số chung của $26$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Đưa $2$ ra ngoài $26$ .

$\frac{2 (13)}{6}$

Bước 3.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 3}$

Bước 3.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 3}$

Bước 3.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{13}{3}$